Omogenizare în Grupul lui Heisenberg

INTRODUCERE

Scopul teoriei omogenizarii este de a stabili comportamentul macroscopic al sistemului care este microscopic eterogen, in loc sa descrie cateva caracteristici ale mediului eterogen. Asta inseamna ca materialul eterogen este inlocuit de o omogenitate fictiva ale carui caractersitici globale sunt o buna aproximare a celor initiale. Din punct de vedere matematic asta insemna mai ales ca solutiile unei probleme cu valoare la limita care este descrisa explicit.

Inca din anii 70, numerosi autori au formulat bazele matematice ale omogenizarii, printre ei mentionam pe Babuska, De Giorgi, J. L. Lions, Oleinik, Papanicolaou, Sanchez- Palencia, Spagnolo, Murat si Tartar. In particular Sanchez- Palencia a introdus parametrul ? cu scopul de a descrie marimea microstructurii si astfel, studiind comportamentul asimptotic al problemei cand acest parametru tinde catre zero, s-au determinat ecuatiile omogenizate.

In ultimii 30 de ani, problemele de omogenizare au fost studiate intens. Rezultatele obtinute in acest domeniu au fost sintetizate in ultimii ani intr-o colectie de carti destul de mare, dintre care putem cita: D. Cioranescu, F. Murat[2], A. Bensoussan, J. L. Lions, G. Papanicolau[1], H. Brezis[10], D. Cioranescu, J. Saint Jean Paulin[3], V. A. Marchenko, E. Y. Khruslov[15], G. B. Folland ,E. M. Stein[8], J. J. Kohn, H. Rossi[12], D. Jerison[5].

Lucrarea de fata este impartita in 2 scapitole.

In primul capotol am studiat problema clasica de omogenizare. Astfel vom considera multimea deschisa ?^?, obtinuta din ?, o multime marginita deschisa in R^N perforata de gauri.

Am considerat o problema Dirichlet in domeniu ?^?, ale carei solutii le vom nota cu u^?. In acest capiol vom raspunde la urmatoarele intrebari: Solutia u^? tinde catre o limita u cind parametrul ? tinde catre zero? Daca aceasta limita exista poate fi caracterizata?

In functie de comportamentul gaurilor putem avea urmatoatele situatii:

cand fiecare multime compacta K e inclusa in ? este in domeniul ?^? (adica daca K??^? este suficient de mic), functiile u^? converg catre solutia problemei Dirichlet in ?;

cand functia caracteristica a multimii de gauri tinde slab in L^? (?) catre o functie care este strict pozitiva. In acest caz limita u este zero.

Cand ? se poate divide in mai multe parti poate avea loc una dintre aceste doua situatii

dar pot fi posibile si alte situatii. Consideram, de exemplu, cazul cand domeniul ? este perforat de un numar tot mai mare de gauri distribuite regulat dar din ce in ce mai mici, cand ? tinde catre zero. Trei cazuri pot avea loc in aceasta situatie:

Fie gaurile, in ciuda numarului lor, sunt prea mici si u^? converge catre solutia problemei Dirichlet in ? (ca in prima situatie);

fie gaurile sunt prea mari si atunci u^? tinde catre zero (ca in a doua situatie);

fie gaurile au o marime critica, in functie de numarul si de distributia lor si unde limita lui u^? este solutia problemei Dirichlet in ? cu un alt operator care este suna operatorului initial si al unui alt termen aditional (straniu), care provine din gauri.

Metoda pe care o folosim este asa numita metoda a energiei introdusa de catre Tartar [14] pentru studiul problemelor de omogenizare. Ea cosnta in alegerea de functii de test adecvate, care sunt folosite in ecuatiile variationale. Este o metoda destul de generala care permite sa tratam problema Dirichlet intr-un domeniu cu gauri mici pentru operatorii de ordin arbitrar.

In al doilea capitol am considerat problema de deplasare spectrala (deplasare Lenz) a operatorului Kohn Laplace, asociata grupului omogen Heisenberg. Acest operator este de tip Hormander, nu puternic eliptic, invariant in raport cu translatia si cu un comportament natural in raport cu omotetia.

Am considerat un pavaj al spatiului asociat cu grupul lui Heisenberg, acesta fiind dilatat de un parametru mic ?, in fiecare celula punand gauri sferice de raza ?(?)<?.

Am considerat vectorii proprii ai prblemei Dirichlet omogena in domeniul perforat ?^? obtinut prin extragerea gaurilor dintr-un domeniu fix marginit ?. Am studiat comportamentul lor asimptotic, pentru ? care tinde la 0.

A. Bensoussan, J. L. Lions, G. Papanicolau, Asymptotic Analysis for Periodic Structures, vol. 5 of Studies in Mathematics and its Applications, north- Holland Publishing Co., Amsterdam, 1978

D. Cioranescu, F. Murat, Un terme etrange venu d'ailleurs, Nonlinear Partial differential Equations and their applications, College de France. Seminar; Vol. II si III, H. Brezis, J. L. Lions Eds, Research notes in Matematies, 60, p98- 138 si 70, p. 154- 178, Pitman, Londra, 1982, traducerea in engleza: A strange term coming from nowhere, Topics in mathematical modelling of composite materials, r. V. Kohn Ed. , Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, Birkha?ser, Boston, 1994

D. Cioranescu, J. Saint Jean Paulin, Homogenization of reticulated structures, vol. 136 of Applied mathematical Sciences, Springer- Verlag, New York, 1999

D. Dupuy, R. Orive, L. Smaranda, Block waves homogenization of a Dirichlet problem in a periodically perfored domain, Asymptot. Anal., 61 (2009), p. 229- 250