Aplicații ale Programării Liniare în Sistemele de Producție

Aplicaţii ale programării liniare în sistemele de producţie

1. Un sistem de producţie trebuie să fabrice trei tipuri de produse (P1, P2, P3) utilizând două tipuri de materiale (M1, M2). Profitul unitar previzionat pentru fiecare tip de produs este: 4 lei/buc pentru P1; 5 lei/buc pentru P2; 3 lei/buc pentru P3. Dacă consumurile de materiale pentru realizarea fiecărui produs şi cantităţile disponibile din fiecare material sunt cele prezentate în tabel, aflaţi câte produse din fiecare tip trebuie fabricate în respectivul sistem de producţie pentru a se realiza profit maxim?

P1 P2 P3 Cantitatea disponibilă

M1 3 2 6 100

M2 4 5 1 120

Soluţie:

funcţia obiectiv: max f = 4X1+5x2+3x3

restricţii

3X1+2X2+6X3<=100

4X1+5X2+1X3<=120

Compania X trebuie să fabrice trei tipuri de produse : A, B, C, utilizând trei tipuri de tehnologii. Costurile tehnologiilor şi profitul unitar pe care firma îl poate obţine în urma vânzării produselor sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Technologia 1 Technologia 2 Technologia 3 Profit unitar

Produs A 13 21 18 28

Produs B 15 20 20 34

Produs C 24 19 16 27

Din motive legate de administrarea financiară a resurselor, costul utilizării tehnologiei 1 nu trebuie să depăşească 900 um şi costul utilizării tehnologiei 2 nu trebuie să depăşească 1000 um. Deoarece tehnologia 3 este o tehnologie modernă, nepoluantă, costul utilizării ei este cel puţin 350 um. Având în vedere anumite condiţii financiare impuse de manager companiei, profitul pe care compania îl câştigă după vânzarea produsului C trebuie să fie cel puţin 25% din întregul profit al firmei. În aceste condiţii:

câte produse din fiecare tip trebuie să fabrice compania pentru a maximiza profitul?

Care este profitul maxim pe care firma îl poate obţine?

Soluţie:

funcţia obiectiv: max f = 4X1+5x2+3x3

restricţii

13X1+15X2+24X3<=900

21X1+20X2+19X3<=1000

18X1+20X2+16X3>=350

27x3>=25/100(28X1+34X2+27X3)

2. Fiecare animal dintr - o fermă are nevoie de o cantitate minimă de principii nutritive pe zi, care depinde de specie, vârstă, scop urmărit în alimentaţie. Principiile nutritive se află în diferite proporţii în produsele ce compun raţia furajeră. Folosind datele din tabelul de mai jos, să se determine cantităţile din fiecare aliment, exprimate în Kg, ce trebuie să intre în compoziţia raţiei furajere a unui animal, astfel încât costul ei să fie minim.

Denumirea principiilor nutritive Conţinutul în principii nutritive al alimentelor (kg) Cantităţile minime prescrise (kg)

A1 A2

P1 0,1 0 0,4

P2 0 0,1 0,6

P3 0,1 0,2 2

P4 0,2 0,1 1,7

Costul (lei/kg) 240 80

fmin=240X1+80X2

restrictii:

0.1X1>=0.4

0.1X2>=0.6

0.1X1+0.2X2>=2

0.2X1+0.1X2>=1.7

3. Compania „A” are comandă pentru trei produse care pot fi realizate pe trei maşini. Numărul de unităţi comandate din fiecare tip de produs este în tabelul 1. Toate maşinile pot să realizeze toate tipurile de produse, dar, ţinând seama de tipul fiecăreia, costurile unitare de producţie variază.

Capacitatea fiecărei maşini este de 1500 bucăţi, iar costurile unitare de producţie în tabelul 2 Aflaţi varianta optimă de producţie din punct de vedere al costului de fabricaţie

Tabelul 1