Semnale sinusoidale
1 Multimea semnalelor sinusoidale sincrone
Definitia 1.0.1 O functie s : [0;+1) ! R se numeste semnal sinusoidal daca este de forma:
s (t) = Asin (!t + ') ; (1.1)
unde: 8<:
A 0 se numeste amplitudine;
! > 0 se numeste pulsatie;
' 2 [0; 2) se numeste faza.
(1.2)
Observatia 1.0.2 Un semnal sinusoidal este o functie periodica, având perioada principala:
Definitia 1.0.3 Doua semnale sinusoidale se numesc sincrone daca au aceeasi pulsatie. Multimea semnalelor
sinusoidale sincrone de pulsatie fixata ! > 0 se noteaza S! :
S!
def
= fs : [0;+1) ! R j s (t) = Asin (!t + ') ;A 0; ! > 0; ' 2 [0; 2)g : (1.4)
Observatia 1.0.4 Doua semnale sinusoidale sincrone au aceeasi perioada principala.
1
1.1 Structura algebrica a multimii semnalelor sinusoidale sincrone
Pe multimea semnalelor sinusoidale sincrone de pulsatie data ! > 0 vom studia doua operatii uzuale cu functii:
adunarea si înmultirea cu scalari reali.
1.1.1 Adunarea semnalelor sinusoidale sincrone
În cele ce urmeaza, vom vedea ca rezultatul adunarii a doua semnale sinusoidale sincrone este tot un semnal
sinusoidal, de aceeasi pulsatie cu cele doua semnale initiale. Mai departe, vom determina structura algebrica a
multimii S! înzestrata cu operatia de adunare.
Propozitia 1.1.1 Adunarea functiilor este o lege de compozitie pe multimea S!:
Demonstratie
Fie doua semnale sinusoidale sincrone s1; s2 2 S!;
sk (t) = Ak sin (!t + 'k) ; k = 1; 2 (1.5)
Calculând succesiv:
s1 (t) + s2 (t) = A1 sin (!t + '1) + A2 sin (!t + '2) =
= A1 (sin !t cos '1 + cos !t sin '1) + A2 (sin !t cos '2 + cos !t sin '2) =
= (A1 cos '1 + A2 cos '2) sin !t + (A1 sin '1 + A2 sin '2) cos !t;
va rezulta (vezi Anexa 2):
s1 (t) + s2 (t) = Asin (!t + ') ; A2
1 + A2
2 + 2A1A2 cos ('1 � '2) 6= 0
0; A2
1 + A2
2 + 2A1A2 cos ('1 � '2) = 0
; (1.6)
unde:
A = qA2
1 + A2
2 + 2A1A2 cos ('1 � '2); (1.7)
' este definit prin8>><>>:
cos ' =
A1 cos '1 + A2 cos '2 pA2
1 + A2
2 + 2A1A2 cos ('1 � '2)
sin ' =
A1 sin '1 + A2 sin '2 pA2
1 + A2
2 + 2A1A2 cos ('1 � '2)
(1.8)
Întrucât functia identic nula poate fi reprezentata ca un semnal sinusoidal, a carui amplitudine este 0 si faza
este nedeterminata:
0 = 0 sin (!t + ') ; (8) ' 2 [0; 2) (1.9)
va rezulta ca multimea S! este parte stabila în raport cu adunarea functiilor reale.
Propozitia 1.1.2 Pentru orice semnal sinusoidal s din multimea S!; exista un semnal sinusoidal s0 2 S! astfel
încât s + s0 = 0:
Demonstratie
Fie s 2 S!; s = Asin (!t + ') ; A 0; ! > 0; ' 2 [0; 2): Se remarca imediat ca defi
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.