Matematici superioare - analiza matematică

Capitolul 2

Siruri de numere reale

2.1 Denitie. Siruri marginite. Siruri monotone

Denitia 2.1.1. Se numeste sir de numere reale o functie reala n ? a(n)

denita pe multimea numerelor naturale N. Se noteaza (an)n>N sau doar (an).

Numerele a1; a2; : : : se numesc termenii sirului, iar numarul an se numeste

termenul general al sirului.

Denitia 2.1.2. 1. Un sir se numeste minorat (sau marginit inferior)

daca exista un numar > R astfel ^nc^at B an; ?n > N

2. Un sir se numeste majorat (sau marginit superior) daca exista un

numar  > R astfel ^nc^at an B ; ?n > N

3. Sirul (an) este marginit daca exista doua numere reale <  astfel ^nc^at

B an B ; ?n > N

Observatii:

1. Un sir an este marginit daca si numai daca exista M > 0 astfel ^nc^at

SanS B M; ?n > N

2. Daca exista M > 0 si n0 > N astfel ^nc^at SanS B M; ?n C n0, atunci sirul

este marginit.

Denitia 2.1.3. 1. Se numeste marginea inferioara a unui sir (an) un

numar m = inf

n>N

an cu proprietatile:

(a) m B an; ?n > N

(b) ? > m; ?n > N astfel ^nc^at an <

2. Se numeste marginea superioara a unui sir (an) un numar M = sup

n>N

an

cu proprietatile:

(a) an B M; ?n > N

(b) ? < M; ?n > N astfel ^nc^at an >

Denitia 2.1.4. 1. Un sir se numeste crescator daca an B an+1; ?n > N

2. Un sir se numeste descrescator daca an C an+1; ?n > N

3. Sirurile crescatoare si sirurile descrescatoare se numesc siruri mono-

tone

4. Un sir se numeste strict crescator daca an < an+1; ?n > N

5. Un sir se numeste strict descrescator daca an > an+1; ?n > N

6. Sirurile strict crescatoare si sirurile strict descrescatoare se numesc siruri

strict monotone

Denitia 2.1.5. Daca n1 < n2 < ? ? ? < np < : : : este un sir strict crescator de

numere naturale, sirul an1 ; an2 ; : : : ; anp ; : : : se numeste subsir al sirului (an).

2.2 Siruri convergente

Denitia 2.2.1. Un numar a > R este limita unui sir (an) daca orice vecinatate

a lui a contine toti termenii sirului, cu exceptia unui numar nit de termeni.

Se mai spune ca (an) are limita a, sau ca sirul (an) este convergent la a si

se noteaza

an ? a sau lim

n??

an = a:

Sirurile care nu sunt convergente se numesc siruri divergente.

Teorema 2.2.1. Un numar a > R este limita unui sir (an) daca si numai daca

pentru orice " > 0, exista N" > N astfel ^nc^at oricare ar  n C N", sa avem

San - aS B ".

Teorema 2.2.2. Fie (an) si (n) doua siruri si a > R. Daca San - aS B n

pentru orice n si daca n este convergent la 0, atunci an este convergent la a.

Proprietati ale sirurilor convergente

1. Un sir convergent are o singura limita.

2. Daca (an) este un sir convergent, atunci sirul (SanS) este convergent si

avem

lim

n??

SanS = V lim

n??

anV

3. Orice sir convergent este marginit.

4. Prin schimbarea ordinii termenilor unui sir convergent se obtine un sir

convergent catre aceeasi limita.

5. Daca la un sir convergent se adauga sau se scoate un numar nit de ter-

meni, sirul obtinut este convergent si are aceeasi limita.

6. Daca (an) este un sir convergent si daca exista n0 > N astfel ^nc^at sa avem

B an B ; ?n C n0, atunci B lim

n??

an B .

7. Daca (an) este un sir convergent si daca < lim

n??

an < , atunci exista

n0 > N astfel ^nc^at sa avem < an < ; ?n C n0.

2

Teorema 2.2.3 (Lema lui Stolz). Fie (an) si (bn) doua siruri. Daca sirul

(bn) este strict monoton si nemarginit, si daca an+1-an

bn+1-bn

? A (nit sau innit),

atunci an

bn

? A.