Matematică

Fie A si B doua multimi nevide. Functiile: definita prin definita prin se numesc prima (respectiv a doua ) proiectie a multimii Aratati ca functiile si sunt functii surjective. R. Fie , atunci exista astfel incat

2. Fie doua functii si Construim functia , data de: Daca functiile f si g sunt surjective, rezulta ca h este surjectiva? R. Consideram R Pentru avem: R (0,0) ? (sin x, cos x), asadar h nu este surjectiva.

3. Fie o functie oarecare. Aratati ca functia data de este

injectiva.

R.Fie cu proprietatea adica: si astfel rezulta

.

4. Fie doua functii si Construim functia data de: Aratati ca daca f si g sunt injective rezulta ca h este injectiva. R. Fie cu proprietatea adica: Atunci si rezultand astfel din ipoteza ca

Merita retinut ca o functie strict monotona pe un interval este injectiva pe acel interval si pentru studiul monotoniei apelam la cunostintele asimilate in liceu.

5. Argumentati afirmatia: functia R definita prin este injectiva.

R.Calculam

- - + - - -

functia f fiind strict descrescatoare pe este injectiva.

6. Daca A este o multime nevida si definim functia prin ; aratati ca este bijectiva. R. Luand cu proprietatea avem , adica si astfel f este injectiva Oricare ar fi exista astfel incat , deci f este surjectiva.

7. Fie R, Determinati

R. Vom stabili tabelul de variatie al functiei, bazandu-ne pe cunostintele din liceu, parcurgand etapele clasice prezentate mai jos:

calculam si , (am aplicat regula lui l'Hospital in cazul ).

1

+ + + 0 - - - - - - -

0 Se observa ca f ((1, )) =

8. Se considera functia R R definita prin Determinati R). R. , si astfel: