Matematică

1. Fie M =

(A

a b

c d

!????? a, b, c, d ? Z, a + b = c + d

)

. S?a se arate c?a :

a) (M.?) este monoid.

b) S?a se determine elementele inversabile ale monoidului (M.?)

2. Fie G = (0,?){1}. Aratat,i ca legea

(x, y) -> x * y = eln x ln y

este o lege de compozit,ie pe G ,si (G, *) este grup abelian.

3.Fie M=

n

A ?M2(R)|ATA = I2

o

.

a) S?a se arate c?a pentru orice A ?M are loc det(A) = ?1.

b) S?a se studieze dac?a operat,ia de ^inmult,ire a matricelor determin?a pe M o

structura de grup.

4.Pe R x R se definesc legile de compozit,ie

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1,x2 + y2)

(x1, x2).(y1, y2) = (x1y1 - x2y2, x1y2 + x2y1)

Aratat,i ca aceste legi confera mult,imii date o structura de inel comutativ. Este

acest inel un corp?

5. Fie A =

(A

a b

3b a

!

|a, b ? Z

)

.

Ar?atat,i ca A este parte stabil?a a lui M2(Z) ,si are o structura de inel comutativ.

Care sunt elementele inversabile?

6.Pe K = (0,?) definim legile de compozit,ie

x ? y = xy, x

J

y = xln y.

Aratat,i ca (K,?,

J

) are structura de corp comutativ izomorf cu (R,+, o)

7. Fie K =

(

A =

A

a 5b

b a

!

|A ?M2(Q)

)

, L =

n

c + d?5|c, d ? Q

o

.

a) S?a se arate c?a L este parte stabil?a a lui R, iar K este parte stabil?a a luiM2(Q)

fat,a de operat,iile uzuale.

b) K ,si L formeaz?a corpuri ^in raport cu operat,iile uzuale.

c) S?a se stabileasc?a un izomorfism de corpuri de la K la L

8. S?a se rezolve, folosind metoda eliminarii, urmatoarele sisteme: