Integrale

Rezolvari.

A1. Fie s suma inverselor tuturor numerelor naturale, care se scriu in baza

10 doar cu cifre impare. Sa se arate ca s 6 4.

Solutie. Fie Sk multimea numerelor cu k cifre, toate impare. Deci S1 =

{1, 3, 5, 7, 9} are 5 elemente, iar un calcul simplu arata ca

X

x2S1

1

x

< 2

Fiecare numar x 2 Sk+1 se scrie unic sub frma x = 10x0+y cu x0 2 Sk si y 2 S1.

Astfel, putem majora

X

x2Sk+1

1

x

< 5

X

x2Sk

1

10x

=

1

2

X

x2Sk

1

x

ceea ce da concluzia.

A2. Functia f : [0,+1) ! (R{0} are proprietatea ca, pentru fiecare t > 1:

lim

x!1

f(tx)

f(x)

= 1

Sa se arate ca f pastreaza semn constant de la un loc incolo.

Solutie. Scriem ipoteza pentru t = 2: rezulta ca exista x0 asa incit f(x) si

f(2x) au acelasi semn, pentru orice x > x0. Sa presupunem acum ca ar exista

x > x0 pentru care f(x0) si f(x) au semne contrare. Folosim ipoteza pentru

t := x

x0

. Astfel

f(tx0)

f(x0) < 0

Prin inductie, deducem

f(2ktx0)

f(2kx0) < 0

ceea ce contrazice ipoteza.

Integrale.

1. Folosind eventual dezvoltarea ˆın serie de puteri, s˘a se calculeze:

Calcul integral