Ecuații Diferențiale

ECUATII DIFERENTIALE

1. Sa de integreze ecuatia diferentiala de ordinul întâi liniara 00cos1==), y( xy tgxy'

Solutie: Ecuatia omogena atasata este: 0=y'-y tgx sau tgx dxydy= cu solutia xCC sau yx-ycoslncoslnln=+=. Pentru rezolvarea ecuatiei neomogene consideram pe y sub forma xC(x)ycos=; avem .xxC(x)xC'(x)y'2cossincos+=

Înlocuind în ecuatie obtinem: xtgxxC(x)xxC(x)xC'(x)cos1coscossincos2=+Å

De unde: si 1=C'(x)CxC(x)+=. Solutia generala a ecuatiei date va fi: .xCxycos+=

Solutia problemei Cauchy y(0)=0 este C=0. Deci solutia particulara a ecuatiei diferentiale xxycos=.

2. Sa se integreze ecuatia diferentiala omogena: 0122=+=), y(xyyxy'

Solutie:

Folosind substitutia xt'txt, y'y+== obtinem succesiv:

Cxt, xdx, t dtt, xt'tttxt'+===+=+ln2112

2

Matematici speciale. Probleme

de unde C.xxy+=ln222 Punând conditia initiala y(1) = 0 obtinem C = 0 si solutia particulara ceruta este y2 = 2x2 ln|x|.

3. Sa se integreze ecuatia diferentiala omogena generalizata:

0737373 y-x- )y' y-x-(=+.

Solutie: Observam ca .´0403773`==Sistemul are solutia x=1, y=0. Substitutia x = 1+u, y = v implica ©¨§==07370373yxyxdudvdxdy= si ecuatia data devine (3u – 7v) v2 + 7u – 3v = 0.

Facem substitutia v = u•z(u), ceea ce conduce la solutia generala sau ()()()Cuzz=+75211()Cxyxy=+++5211.

4. Sa se integreze ecuatia diferentiala a lui Bernoulli: .), y(xy-yxy'-11212==

Solutie: Facem substitutia u = y ).Q(x)yP(x)y (y'±±=+=21-± sau u=y-1. Obtinem 2yy'u'= sau .uu'y'2=Ecuatia data devine: 22121uxxuuu'= sau xxuu' 2=+ cu solutia generala .xCxu+=322 Solutia generala a ecuatiei este xCxy+=3212. Din conditia initiala deducem ,C31= astfel ca solutia particulara cautata este 1233+=xxy.

5. Sa se integreze ecuatia diferentiala a lui Riccati:

capitolul 1 din Matematici Speciale