Capitolul 1
Ecuatii diferentiale
an univ 2001/2002
Teoria ecuatiilor si a sistemelor diferentiale reprezinta unul din domeniile fundamentale
ale matematicii cu largi aplicatii in tehnica ca de exemplu in mecanica, in studiul circuitelor
electrice,al oscilatiilor si in teoria comenzii automate. O conditie esentiala pe care trebuie
sa o indeplineasca un proces fizic pentru a fi rescris de ecuatii diferentiale este aceea ca
prezentul sa contina predictia viitorului local ca si reconstituirea trecutului local. Un proces
fizic care satisface o astfel de conditie se numeste sistem determinist. Un proces fizic este
finit-dimensional si diferentiabil daca este descris de un numar finit de parametri de
stare (marimi dependente de timp a caror cunoastere determina dinamica procesului) care
sunt functii derivabile de variabila timp.
In liceu s-au studiat doar ecuatii de forma f(x) = 0 cu f functie reala: ecuatii algebrice,
logaritmice, trigonometrice etc. Se impune insa si studiul unor ecuatii in care necunoscuta
este ea insasi o functie. Astfel de ecuatii se numesc ecuatii functionale. Printre acestea se
afla ecuatii diferentiale ordinare (in care necunoscuta este o functie de o singura variabila
independenta), ecuatii cu derivate partiale (in care necunoscuta este o functie de doua sau
mai multe variabile independente), ecuatii cu diferente finite, ecuatii integrale etc. Procesele
descrise de ecuatii diferentiale sunt procese continue.
Definitia 1.1 Se numeste ecuatie diferentiala o relatie de dependenta functionala 1ntre
variabilele independente, functia necunoscuta si derivatele sale. Daca functia necunoscuta
depinde de o singura variabila independenta, dependenta functionala se numeste ecuatie
diferentiala ordinara, iar daca functia necunoscuta depinde de mai multe variabile in-
dependente, dependenta functionala se numeste ecuatie cu derivate partiale. Ordinul
maxim de derivare al functiei necunoscute care este efectiv implicat in ecuatie poarta den-
umirea de ordinul ecuatiei diferentiale.
Exemplul 1.1 Ecuatia x00(t) + x(t) = sin t cu functia necunoscuta x de variabila reala t
este o ecuatie diferentiala ordinara de ordinul al doilea, iar ecuatia
necunoscuta u; depinzand de variabilele reale independente x si y; este o ecuatie cu derivate
partiale de ordinul intai.
1
2 CAPITOLUL 1. ECUAT II DIFERENTIALE
1.1 Ecuatii diferentiale rezolvabile prin cuadraturi
O ecuatie diferentiala de ordinul 1ntai este o relatie de dependenta functionala de
forma:
F(t; x; x0) = 0 (1.1)
1ntre variabila independenta t, functia necunoscuta x = x(t) si derivata ei x0= x0(t); iar F
este o functie definita pe o submultime Dom(F) š R3 cu valori in R, neconstanta in raport
cu ultima variabila.
O ecuatie diferntiala ordinara de ordin n este de o relatie functionala de forma:
F(t; x; x0; : : : ; x(n)) = 0 (1.2)
1ntre variabila independenta t, functia necunoscuta x = x(t) si derivatele ei x0; : : : ; x(n) iar
F este o functie definita pe o submultime Dom(F) š Rn+2 cu valori in R, neconstanta in
raport cu ultima variabila.
In anumite conditii de regularitate asupra functiei F (cerute de aplicabilitatea teoremei
functiilor definite implicit), ecuatia (1.2) poate fi scrisa sub forma:
x(n) = f(t; x; x0; : : : ; x(n€1)) (1.3)
numita forma normala a ecuatiei diferentiale ordinare de ordin n.
Forma normala a ecuatiei diferentiale ordinare de ordin intai este
x0 = f(t; x): (1.4)
Definitia 1.2 Prin solutie a ecuatiei diferentiale (1.2) 1ntelegem orice functie x : I ! R;
Int(I) 6= ;; x = x(t), de clasa Cn(I,R) care satisface
(t; x(t); x0(t); : : : ; x(n)(t)) 2 Dom(F) si 1ndeplinind conditia
F(t; x(t); x0(t); : : : ; x(n)(t)) ‘ 0; 8t 2 I.
Definitia 1.3 Prin solutie a ecuatiei diferentiale (1.1) 1ntelegem orice functie x : I ! R;
Int(I) 6= ;; x = x(t), de clasa C1(I,R), care satisface
(t; x(t); x0(t)) 2 Dom(F) si 1ndeplinind conditia F(t; x(t); x0(t)) ‘ 0; 8t 2 I.
Definitia 1.4 O familie de functii fx(;C) : I ! R;C 2 Rg definite implicit de o relatie
de forma
G(t; x;C) = 0 (1.5)
in care G : Dom(G) š R3 ! R, este o functie de clasa C1 in raport c
Facultatea de Automatica si Calculatoare, Universitatea Tehnica Gh. Asachi, Iasi
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
