Analiză matematică

6.10.2009 Seminar 1

1. Pentru orice submultime nevida C ` R notam −C = {−x; x > C}. Sa se

arate ca daca C este marginita, atunci sup(−C) = −inf C si inf(−C) =

−supC.

R: C marginita §m = inf C > R si M = supC > R. Vom arata ca −m

este cel mai mic majorant al multimii −C, care este la randul ei marginita.

m = inf C m B x; ¦x > C −m C −x; ¦x > C;

deci −m este un majorant al multimii −C. Daca ar exista un alt majorant

−mœ < −m al lui −C, atunci mœ ar un minorant al lui C mai mare decat

m, ceea ce contrazice de nitia lui m ca ind marginea inferioara a lui C.

In mod analog se arata ca −M este marginea inferioara a lui −C.

2. Se considera multimea A = {m

n S0 < m < n; m;n > Z}. Sa se arate ca A

nu are un cel mai mic element si nici un cel mai mare element si sa se

determine inf A, supA.

R: Pentru orice m

n > A, gasim 2m−1

2n < m

n < 2m+1

2n , cu 2m−1

2n ; 2m+1

2n > A, ceea

ce implica faptul ca A nu poate avea nici minim nici maxim.

Vom arata in continuare ca inf A = 0 si supA = 1. Evident, 0 < m

n < 1,

¦m

n > A.

Pentru orice " > 0 arbitrar, exista n > Z;n > 1 astfel incat 0 < 1

n < ", iar

cum 1

n > A, avem ca 0 este cel mai mare minorant al lui A.

Din nou, pentru orice " > 0 arbitrar, exista m > Z;m > 0 astfel incat

1 − " < m

m+1 < 1, iar cum m

m+1 > A, avem ca 1 este cel mai mic majorant al

lui A.

3. Care din submultimile V ` R urmatoare sunt vecinatati ale originii:

(a) V = (−1; 2); R: da.

(b) V = [0;ª); R: nu, niciun interval deschis care contine originea nu

este inclus in V .

(c) V = (−3; 1) 8 (3;ª); R: da.

(d) V = Q; R: nu, Q nu contine niciun interval deschis.

4. Sa se precizeze care din multimile urmatoare sunt deschise:

(a) g; R: da.

(b) R; R: da.

(c) un interval deschis (a; b); R: da.

(d) o semidreapta deschisa; R: da.

(e) un interval [a; b]; R: nu, [a ; b] = (a; b) x [a; b].

(f) un interval [a; b); R: nu.

(g) o semidreapta inchisa; R: nu.

(h) {a}; a > R; R: nu, { a} = g.

1

6.10.2009 Seminar 1

5. Sa se a

e aderenta urmatoarelor multimi:

(a) R; R: R.

(b) g; R: g.

(c) [a; b]; R: [a; b].

(d) {x0}; R: {x0}.

(e) (a; b]; (a; b); [a; b); R: [a; b].

(f) o semidreapta deschisa; R: acceasi semidreapta, dar inchisa.

(g) Q; R: R.

(h) I = R Q; R: R.

(i) {1; 1

2 ; : : : ; 1

n; : : : }; R: {1; 1

2 ; : : : ; 1

n; : : : ; 0}.

(j) {1; 2; : : : ;n; : : : }; R: {1; 2; : : : ; n; : : : }.

6. Sa se precizeze daca multimile A sunt dense fata de multimea B:

(a) A = (a; b];B = [a; b]; R: da.

(b) A = Q;B = R; R: da.

(c) A = R Q;B = R; R: da.

7. Sa se determine punctele de acumulare si punctele izolate ale

submultimilor D ` R urmatoare:

(a) D = (−1; 1); R: Da = [−1; 1]; Di = g.

(b) D = (−ª; 1) 8 (5;ª); R: Da = (−ª; 1] 8 [5;ª); Di = g.

(c) D = Z; R: Da = g; Di = Z.

(d) D = { 1

x ; x > R; x x 0}; R: Da = R; Di = g.

(e) D = {(−1)n 1

n;n > Z;n C 1}; R: Da = {0}; Di = D.

(f) D = domeniu maxim de de nitie pentru f(x) =arcsin(x −

º

1 − x2);

R: Da = [0; 1]; Di = {−1}.

8. Sa se determine interiorul si frontiera multimilor

(a) A = {x > R; SxS B 1}; R: A = (−1; 1), FrA = {−1; 1}.

(b) B = {x > R; SxS = 1}; R: B = g, FrB = {−1; 1}.

(c) C = Q; R: C = g, FrC = R.

9. Fie multimea A = [0; 1) 8 {2} 8 [3; 4). Sa se calculeze A ;A;A ;

A;

A;

A.

R: A = (0; 1) 8 (3; 4);A = [0; 1] 8 {2} 8 [3; 4];A  = (0; 1) 8 (3; 4);

A = [0; 1] 8 [3; 4];

A = (0; 1) 8 (3; 4);

A = [0; 1] 8 [3; 4].

10. Sa se precizeze care din multimile urmatoare sunt compacte:

(a) o multime nita; R: da.

(b) un interval inchis; R: da.

(c) o reuniune nita de intervale compacte; R: da.

(d) [a; b); R: nu.

(e) o semidreapta; R: nu.

2