Atomul de hidrogen în teoria cuantică

1. Ecuaţia Schrödinger a sistemului

Se consideră un atom de hidrogen constituit dintr-un nucleu (proton) şi un electron. Se presupune că nucleul este imobil şi că electronul se găseşte la o distanţă r de nucleu. Energia totală a sistemului electron-proton se scrie:

unde: este energia cinetică a electronului, dacă protonul este imobil, iar este energia potenţială de interacţie electron-proton (se adoptă în general notaţia V pentru a desemna această energie). Energia totală a sistemului devine:

Energia potenţială de interacţie electron-proton fiind deja calculată [ , vezi relaţia (6.3)], se scrie:

Energia potenţială fiind independentă de timp, se scrie ecuaţia Schrödinger sub forma:

Rămâne de determinat hamiltonianul sistemului plecând de la expresiile pentru operatorul impuls:

Scriind:

şi ţinând cont de (5), aceasta devine operatorial:

sau, hamiltonianul se deduce din energie scriind:

şi se obţine:

Ecuaţia Schrödinger (4) devine atunci:

Ne rămâne deci de rezolvat ecuaţia Schrödinger (13) pentru a determina stările de energie E ale sistemului şi funcţia de undă asociată.

2. Studierea stărilor <<s.>>

2.1. Ecuaţia Schrödinger pentru funcţiile de undă dependente doar de r

Ţinând cont de geometria sistemului (nucleul se află în origine, vezi figura 1), se va ţine cont că anumite soluţii nu vor depinde decât de distanţa electron-nucleu (simetrie sferică).

Laplaceianul din relaţia (13) trebuie exprimat în funcţie de r. Pentru aceasta, plecând de la notaţia (12), avem:

Scrierea laplaceianului în funcţie de r înseamnă să exprimăm fiecare din derivatele din relaţia (15) în funcţie de r; se remarcă atunci că:

Pentru aceste soluţii la simetria sferică, ecuaţia Schrödinger (13) se scrie: