Semnale și Sisteme -1-

Seminarul 1. Raspunsul circuitelor la semnale periodice Breviar teoretic În cele ce urmeaza vom considera ca circuitul caruia vrem sa îi calculam raspunsul este un sistem strict stabil, prin urmare functia sa de transfer ()Hs nu prezinta poli decât în semiplanul stâng (nu si în semiplanul drept ori pe axa imaginara), daca sistemul este analogic, sau ()Hz nu prezinta poli decât în interiorul cercului unitate (nu si în exteriorul acestuia ori pe cerc), daca sistemul este discret. Vom nota cu: ()ht si functia pondere a sistemului (raspunsul la impuls al circuitului) ()hn()HÉ si ()jHeÉ functia de transfer a circuitului ()Hs si ()Hz functia de transfer a circuitului (deseori, pentru evitarea confuziei cu marimea definita anterior, vom gasi aceasta marime numita functie de sistem) Între cele trei marimi se scriu relatiile ()(){}HhtÉ=F ()(){}TFTDjHehÉ= ()(){}Hsht=L ()(){}HzZht= Vom nota cu x(t) semnalul de intrare analogic si în continuare transformatele lui Fourier si Laplace cu ()XÉ si respectiv ()Xs. În cazul unui semnal de intrare discret, vom nota cu x(n) semnalul de intrare transformatele lui Fourier si Z cu (jXeÉ si respectiv ()Xz. 1. Raspunsul circuitelor la semnale de joasa frecventa, aperiodice 1.1. Metoda Fourier O vom folosi de fiecare data când transformata Fourier a semnalului de intrare nu contine distributii (cum este distributia Dirac). Mentionam ca metoda nu este exclusivista din acest punct de vedere, însa în conditiile în care totusi transformata Fourier prezinta distributii, este mai comod de utilizat metoda Laplace. Pentru semnalul de iesire vom scrie ()()()()()()ythtxtYHXÉÉÉ=Ô= ()()()()()()jjynhnxnYeHeXeÉÉÉ=Ô= iar semnalul de iesire se calculeaza dupa formula ()()(){}1ytHXÉÉ=F ()()(){}1TFTDjjynHeXeÉÉ= 1

Observatie Un exemplu de semnal analogic a carui transformata Fourier prezinta distributii este treapta unitate , pentru care ()ut()()1UjÉÀ´ÉÉ=+. 1.2. Metoda Laplace/Z Este similara metodei Fourier si se bazeaza pe faptul ca ()()(){}1ytHsXs=L ()()(){}1ynZHzXz= Pentru inversare, se pot folosi formulele clasice, de exemplu formula Heaviside. ()(){}Rez,stkkytXses= ()(){}1Rez,nkkymXzzz= unde sk , respectiv zk reprezinta polii functiei ()stXse, respectiv ()1nXzz, în care reziduul se poate calcula în functie de ordinul de multiplicitate al polului, mk