Transformata Laplace

1.Introducere

Fie astfel încât are sens integrala improprie cu parametru

(1)

Definiţie. Dacă are sens egalitatea (1), F se numeşte transformata Laplace a lui f şi se notează şi

Funcţiile f pentru care există transformata Laplace se numesc funcţii original (sau simplu, original), iar transformata Laplace F se mai numeşte funcţia imagine (sau scurt imagine).

Definiţie. Funcţia f(x): (sau C), I interval mărginit sau nemărginit, este derivabilă pe porţiuni dacă pentru orice interval compact există o diviziune cu

astfel încât f(t) să fie derivabilă pe fiecare interval şi să existe limitele laterale

.

Definiţie. Se numeşte original o funcţie f(x), reală sau complexă, definită pe mulţimea numerelor reale şi care satisface următoarele condiţii:

1. f(x) = 0 dacă x <0,

2. f(x) este derivabilă pe porţiuni,

3. există numerele M > 0, astfel încât

(2)

Numărul se numeşte indice de creştere al funcţiei f(x).

Mulţimea funcţiilor original se notează cu

2.Cazuri concrete.

(d1) Funcţia , cu b real sau complex va avea creştere exponenţială putând lua a = Reb, M > 1 şi Într-adevăr,

( )

( )

Deci şi , convergenţa integralei având loc pentru p > Reb dacă şi Rep > Reb dacă

Observaţie.

Nu este greu să vedem că este liniară. Utilizând liniaritatea, rezultatul din d1 şi relaţiile lui Euler:

,

obţinem:

( )

( )

pentru

3.Proprietăţile transformatei Laplace

Este liniară; pentru constantele şi şi originalele şi are loc egalitatea

Pentru orice a>0 şi f(x) original are loc egalitatea

(3)

în care F(p) este imaginea funcţiei f(x).

Dacă a > 0 şi f(x) original atunci

(4)

Dacă f(x) este original şi o constantă atunci

(5)

a)Teorema de derivare a originalului.

Dacă funcţia original f(x) este de “n” ori derivabilă, cu derivatele continue atunci

(6)

b)Teorema derivării imaginii.

Dacă sunt funcţii original atunci derivând egalitatea

UNIVERSITATEA “AUREL VLAICU”

FACULTATEA DE INGINERIE

SPECIALIZAREA: A.I.A. ANUL II