Transformarea lui Mobius

În această lucrare, vom studia inversiunile geometrice si compuneri referitoare la acestea.

Vom defini transformarea lui Mőbius ca si o compunere finită de inversiuni si vom studia unele proprietăţi si aplicaţii ale ei.

Inversiunea este o temă comună în matematică. Elementele unui grup admit elemente inverse, funcţiile (în unele cazuri) admit funcţii inverse. De asemenea, într-un cerc putem realiza inversiunea prin mutarea punctelor din exterior cu puncte apropiate de centrul cercului din interiorul acestuia. Acesta este un exemplu de inversiune geometrică.

1. Inversiunea într-un cerc

Dacă C este un cerc de rază r şi centru a, şi este un alt punct din plan, atunci inversul lui în C este:

Observăm că este pe direcţia lui , la distanţa de a, şi deasemenea că x este inversul lui .

Pentru a rezolva problema cu ceea ce se întâmplă cu a în cazul inversiunii în C, ataşăm un alt punct din plan. Mulţimea rezultată o notăm cu , şi putem apoi să definim inversul lui a ca:

.

2. Inversiunea în

În acest paragraf dorim să generalizăm cazul de inversiune studiat mai sus. Deci se doreşte trecerea de la 2 dimensiuni la n dimensiuni.

Ca mai sus, vom vedeea că este util pentru a adăuga un alt punct în plan, să lucrăm în .

2.1. Definiţii

Lungimea unui vector este

şi este distanţa euclidiană.

La fel ca şi în alte spaţii, o sferă este o mulţime de puncte echidistante faţă de centrul acesteia. În concluzie,

,

unde r este raza sferei şi a este centrul sferei .