Șiruri definite prin termenul general

Observatii. 1) Exercitiul de mai sus este tipic pentru capitolul de fata. Este bine sa se lucreze un numar suficient de astfel de exercitii, pentru deprinderea corecta a algoritmului. Erorile apar cel mai frecvent la capete: fie nu se simplifica un numar suficient de termeni, fie se simplifica prea multi sau chiar daca simplificarea se face corect, transcrierea ulterioara viciaza rezultatul. 2) Nu recomandam insa ca acesta sa fie singurul gen de exercitii pe care sa se insiste la capitolul siruri. Ex. rezolvat 2. Sa se calculeze: Solutie. Exercitiul face apel la cunoasterea limitei: In concluzie, limita este egala cu: Ex. rezolvat 3. Sa se calculeze: Aceasta forma este adecvata insumarii termen cu termen: Ideea de rezolvare este sa adunam si sa scadem 2 k-ului de la numarator.

Termenul general al sumei devine: Se scriu acum cativa termeni ai sumei (cel putin doi de la inceput si doi de la sfarsit): Oricat am incerca, nu vom reusi sa descompunem termenul general al sumei in ceva care sa produca izbavitoarea simplificare in lant. Solutia este sa despartim suma sub forma: Este momentul sa ne amintim de sirul: Ex. rezolvat 4. Calculati: Solutie. a) Avem: b) Fara vreo legatura aparenta cu exercitiul de fata, observam ca: Se calculeaza mai departe: Demonstram acum prin inductie matematica (va las placerea () ca: Rezulta ca avem de calculat limita: Ex. rezolvat 5. Sa se calculeze: Solutie. a) Rezultatul acestui exercitiu este bine sa fie retinut, deoarece intervine in rezolvarea altor exercitii. Fie: Un principiu foarte sanatos in calculul limitelor de siruri si mai ales de functii este ca, atunci cand avem de eliminat o nedeterminare, sa observam din timp factorii care nu produc nedeterminarea si sa ii evaluam pe parcurs. In acest mod, se evita pe cat posibil efectuarea unor calcule dificile si totodata inutile. In cazul de fata, suma celor doi radicali de la numitorul ultimului factor are limita 2, valoare pe care o inlocuim pur si simplu; de asemenea, vom inlocui si valoarea limitei determinate la punctul a): Se impune acum efectuarea unei analize de cazuri (discutie): Concluzionand, avem: Observatie. Cand amplificam cu conjugata o expresie si cand nu e cazul? Iata alt amanunt a carui cunoastere ne simplifica mult viata cand avem de calculat limite de siruri sau de functii ce se preteaza la acest procedeu. Raspunsul la intrebare este simplu: atunci cand avem un termen dominant (prin putere sau coeficient), nu se impune o amplificare cu conjugata; daca ambii termeni ai expresiei au aceeasi putere si acelasi coeficient, amplificarea cu conjugata este singura sansa.

Sa luam cateva exemple pentru a ilustra cele afirmate mai sus.

c) Sa revenim insa la exercitiul nostru. Punctul de fata pare a impune folosirea formulei radicalilor compusi. Daca nu o cunosteati, scrieti-o cu rosu undeva pentru a o retine: Forma obtinuta este oarecum mai simpla, dar nu foarte utila pentru ...