Schema lui Horner

T1: Restul impartirii unui polinom f 0 prin polinomul X-a este egal cu valoarea f (a) a polinomului f in a.

Aceasta teorema ne ajuta sa gasim restul impartirii unui polinom oarecare prin polinomul X-a fara a mai face impartirea.

Ex: Sa se gaseasca restul impartirii polinomului f = X 3 - 2 X 2 + X + 1 prin binomul X-2. R= f (2) =2 3 2*2 2 +2 +1=3. Teorema are dezavantajul ca nu ne spune nimic asupra citului impartirii polinomului f prin X-a. Procedeu de aflare a catului: f = an X n +a n-1 X n-1 +. + a 0 f = (X a) q + r (2) grad f = n (grad q = n 1 (q = bn-1 X n-1 +bn-2 X n-2 +. +b0 (2) an X n +a n-1 X n-1+. + a 0 = (X-a) (bn-1 X n-1 +bn-2 X n-2+. +b0) + r n-1 n-2 n-1 n-2 n-1 (X - a) (bn-1 X +bn-2 X +. +b0) =bn-1 X +bn-2 X +. + b0 X- abn-1 X - n-2 -abn-2 X - - ab 0 n n-1 n-2 =bn-1 X + (bn-2 - abn-1) X + (bn-3 abn-2) X + + (b0 - ab1) X ab0 n n-1 n n-1 n-2 (2) anX +a n-1 X +. + a 0==bn-1 X + (bn-2 - abn-1) X + (bn-3 abn-2) X + + + (b0 - ab1) X ab0 a n =b n-1 a n-1 =b n-2 - ab n-1 a n-2 =b n-3 - ab n-2 (3) . a 1 =b 0 -ab 1 a 0 =r -ab 0 b n-1 = a n b n-2 = a n-1 + ab n-1 b n-3 = a n-2 + ab n-2 (4) . b 0 = a 1 + ab 1 r = a 0 + ab 0 X n X n-1 X n-2. X 1 X 0 an an-1 an-2 a1 a0 an an-1+abn-1 an-2 +abn-2 a1+ab1 a0+ab0 bn-1 bn-2 bn-3 b0 r Observatie: schema lui Horner ne ofera doar un procedeu de obtinere al catului nu si unul de determinare a restului!

...