Proprietățile funcțiilor derivabile

In continuare vom da metode de determinare a punctelor de maxim si minim, a intervalelor de monotonie, a intervalelor de convexitate etc. ale unei functii, in care rolul derivatelor este esential.

Unele din teoremele care urmeaza sunt intuitiv evidente (folosind de regula interpretare geometrica a derivatei) si demonstratiile pot fi la inceput omise, insistand pe intelegerea enunturilor.

Teorema lui Fermat

Intr-o serie de probleme tehnice sau economice, si bineinteles matematice, este important de stiut care sunt maximele si minimele anumitor marimi variabile. Dupa ce problemele capata o formulare matematica, adeseori ele se reduc la determinarea punctelor de extrem ale anumitor functii. Sunt necesare in prealabil cateva definitii precise.

DEFINITIE:

Fixam o functie ? : A->R (A R). Un punct x0 A se numeste punct de maxim relativ (respectiv de minim relativ) al lui ? daca exista o vecinatate U a punctului x0 astfel incat pentru orice x U A sa avem

(respectiv ).

In acest caz valoarea ?(x0) se numeste un maxim (respectiv un minim) relativ al lui ?.

Punctele de maxim sau de minim relativ se mai numesc puncte de extrem relativ. Daca inegalitatile din definitie sunt stricte se spune ca x0 este un punct de extrem strict. Valorile functiei in punctele ei de extrem relativ se mai numesc extremele relative ale functiei.

Observatii.

1) Functia considerata trebuie sa fie neaparat cu valori reale.

2) Trebuie tinut cont de faptul ca o functie poate sa aiba mai multe puncte de maxim si de minim relativ, iar un minim sa fie mai mare decat un maxim, ceea ce justifica faptul ca punctele de maxim si de minim sunt ,,relative" (fig. 3, c).Valorile calculate se mai numesc extremele globale ale lui ? pe A

Punctele de extrem relativ se mai numesc puncte de extrem local, deoarece inegalitatile de tipul celor din definitie sunt verifica te nu neaparat pe intreg domeniul de definitie al functiei ? ci numai un jurul lui x0.

3) Daca marginea M= este atinsa pe multimea A, atunci orice punct x astfel incat ?(x0)=M va fi un punct de maxim (nu neaparat strict). O situatie analoaga (cu sensul inegalitatii schimbat) are loc pentru marginea inferioara si pentru punctele de minim.

Daca marginea superioara nu este atinsa pe multimea A, atunci se poate spune ca functia nu are puncte de maxim (fig. 4).