Progresii aritmetice și geometrice

Un sir de numere (A1, A2, , An; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea, se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant r, numit ratie, se numeste progresie aritmetica.

P1: Intr-o progresie aritmetica termenul general An este egal cu primul termen plus de atatea ori ratia cati termeni sunt inaintea sa.

P2: Intr-o progresie aritmetica suma termenilor egali departati de extreme este egala cu suma extremelor.

P3: Daca avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cel din mijloc este media aritmetica a celorlalti doi.

Ak = (Ak-1 + Ak+1) / 2 P4: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ultimul termen: Sn = (A1 + An) *n / 2 P5: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ratia: Sn = [2*A1 + (n-1) *r]*n/2 4. APLICATII 1 (pag71). Sa se scrie primii cinci termeni ai sirului, cu termenul al n-lea dat de formula: An = 2 (la puterea -n) A0 = 2 (la puterea 0) = 1 A1 = 2 (la puterea -1) = 1/2 A2 = 2 (la puterea -2) = 1/4 A3 = 2 (la puterea -3) = 1/8 A4 = 2 (la puterea -4) = 1/16 A5 = 2 (la puterea -5) = 1/32 Xn = 5+4*n X0 = 5 X3 = 17 X1 = 9 X4 = 21 X2 = 13 X5 = 25 2 (pag. 72). Sa se gaseasca formula termenului al n-lea (n>=1) pentru fiecare din sirurile: 1, 3, 5, 7, 9, ; => An = A1 + (n-1) *r = 1 + (n-1) *2 = 2*n 1 2, 4, 6, 8, 10, ; => An = A1 + (n-1) *r = 2 + (n-1) *2 = 2*n 3, -3, 3, -3, ; => An = 3* (-1) (la puterea n) 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ; => An = 1/3 (la puterea n) 3 (pag. 72). Sirul (Xn), n>=1, are termenul general dat de formula Xn = 6- 4*n. Este termen al acestui sir numarul: -102 (DA) 6- 4*n = -102 => 4*n = 108 => n = 27 -132 (NU) 6- 4*n = -132 => 4*n = 138 => n = 138/4 (nu apartine numerelor naturale) 100 6- 4*n = 100 => 4*n = -94 => n = -94/4 (nu apartine numerelor naturale) 7 (pag. 72). Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (An), daca: A1 = 7, r = 2 A2 = A1 + r = 9 A3 = 11 A4 = 13 A1 = -3, r = 5 A2 = A1 + r = 2 A3 = 7 A4 = 12 16 (pag. 73). Sa se rezolve ecuatiile: 1 + 7 + 13 + +X = 280 An = A1 + (n-1) *r X = 1 + (n-1) *6 X = 6*n 5 Sn = (A1 + An) *n/2 = 280 (A1 + X) *n/2 = 280 => (1 + 6*n-5) *n/2 = 280 6*n (la puterea 2) -4*n -560 = 0 D = 3364 => n1 = 10; n2 = -28 (nu convine) =>X = 6*10 -5 = 55 (X + 1) + (X+ 4) + (X + 7) + + (X + 28) = 155 An = A1 + (n-1) *r X + 28 = X + 1 + (n-1) *3 27 = (n-1) *3 => n = 10 S10 = (A1 + A10) *10/2 = 155 => 2*X + 29 = 31 => X = 1 20 (pag. 73). Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (Bn) este data de formula Sn = n (la puterea 2) -2*n + 5. Sa se gasesca primii patru termeni ai acestui sir. Este acest sir o progresie aritmetica.

S1 = A1 S2 = A1 + A2 S3 = A1 + A2 + A3 Sn-1 = A1 + A2 + + An-1 Sn = A1 + A2 + + An-1 + An A1 = S1 = 4 A2 = S2 - S1 = 1 A3 = S3 - S2 = 3 A4 = S4 ...