Progresii

Acesr sir se poate descrie astfel: fiecare termen al sau se scrie cu ajutorul cifrei 1 si numarul cifrelor este egal cu rangul termenului sirului.

De exemplu, sirul (bn) astfel incat pentru fiecare n, bn este dat de formula: bn= n2- n +1 Formula care exprima fiecare termen al sirului cu ajutorul rangului sau n, se numeste formula termenului al n- lea al sirului.

Modul recurent de definire a unui sir De exemlu sirul (bn) astfel incat b1=1, b2=2, bn+2 = bn + bn+1, pentru n (1. Cunoscand primii doi termeni b1, b2 ai sirului si formula putem sa gasim orice termen al acestui sir: b3 = 1+2 =3, b4 = 2+3 = 5 O formula care exprima orice termen al sirului, de la un rang oarecare, prin precedentii, se numeste recurenta. Printr- un mod recurent de definire a unui sir indicam, de obicei: primul termen al sirului formula care permite sa se defineasca orice termen al sirului cu ajutorul termenilor precedenti cunoscuti.

2. Progresii aritmetice Definitie: Un sir de numere in care fiecare termen, incepand cu al doilea, se obtine din cel precedent prin adaugarea aceluiasi numar.

Exemplu: Fie sirul (an), adica a1, a2, a3, ... an, astfel incat a1 = 3 si a n+1 = an + 2, pentru n (1. Deci a1 = 3, a2 = 3+2 = 5, a3 = 5+2 = 7, a4 = 7+2 = 9 etc.

a1, a2, a3, ... an, este o progresie aritmetica daca, pentru orice k (1, avem a k+1 = ak + r unde r este un numar constant pentru sirul dat.

Intr- o progresie aritmetica diferenta dintre orice termen si predecesorul sau este egala cu acelasi numar r.

Numarul r se numeste ratia progresiei aritmetice.

Progresia aritmetica (an) este complet determinata daca se cunosc primul termen a1 si ratia r.

Se spune ca numerele a1, a2, a3, ... an sunt in progresie aritmetica daca ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Teorema 1. Orice termen al unei progresii aritmetice a1, a2, ... a n-1, a n, a n+1, incepand cu al doilea este media aritmetica a termenilor vecini lui.

Reciproca: Daca un sir de numere are proprietatea ca fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, este media aritmetica a termenilor vecini lui, atunci acest sir este o progresie aritmetica.

Formula termenului general al unei progresii aritmetice: Fie a1, primul termen al progresiei aritmetice si r ratia sa Atunci a2 = a1 + r, a3 = a2 + r = (a1+r) + r = a1 + 2r, a4 = a3 + r = (a1+2r) + r = a1 + 3r s.

a. m. d Teorema 2. Termenul general al unei progresii aritmetice este dat de formula: an= a1+ (n-1) r Formula sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice Fie (an) o progresie aritmetica de ratie r si fie Sn suma primilor n termini ai sai, adica: Sn = a1 + a2 + a3 = + a n-1 + an Numerele a1, a2, a3, ... a n-1, an sunt in progresie aritmetica Teorema 3. Fie numerele a1, a2, a3, ... a n-1, an in progresie aritmetica.

Atunci: ak + a n-k+1 = a1 + an Suma oricaror doua numere egal departate de numerele extreme este egala cu suma numerelor ...