Primitiva unei Funcții

PRIMITIVA UNEI FUNCTII. INTEGRALA

NEDEFINITA A UNEI FUNCTII CONTINUE

Fie g : I ® R, I interval. Ne propunem sa determinam o functie derivabila G : I ® R, care sa aiba proprietatea ca în fiecare punct al intervalului I derivata ei sa fie G’(x) = g(x), "x Î I. Functia G se numeste functie primitiva a functiei g pe intervalul I.

Problema determinarii primitivei unei functii date contine alte trei probleme:

a) O problema de existenta. Trebuie sa aratam ca problema pusa nu este fara obiect, adica astfel de functii G exista.

b) Gradul de generalitate al solutiei. Trebuie cercetat, în cazul când exista, daca solutia este unica sau sunt mai multe solutii; în cazul când solutia nu este unica sa gasim forma ei generala

c) Determinarea functiei G. Trebuie sa stabilim metodele pentru determinarea functiei G a carei derivata este g.

Pentru punctul b), presupunem ca exista functii G. Fie G1, G2 doua primitive. Avem G1’(x) = G2’(x) = g(x), " x Î I. De aici (G1 – G2)’(x) = 0, " x Î I. Atunci (o consecinta a teoremei lui Lagrange) G1(x) – G2(x)=c, " x Î I, unde c este o constanta arbitrara.

Asadar am obtinut rezultatul urmator:

- daca exista o primitiva G, atunci exista o infinitate care difera de G printr-o constanta arbitrara.

Toate primitivele se obtin dintr-una (din G) printr-o deplasare paralela cu axa Oy, deci solutia generala, daca exista, este formata dintr-o familie de curbe paralele, numite astfel pentru ca tangentele la curbele din familie în punctele de intersectie cu o paralela la axa Oy, x = x0 sunt paralele.

Daca se considera o functie g : I ® R, cunoscuta ca o derivata, atunci sa se gaseasca o functie G : I ® R derivabila, cu proprietatea G’ = g. O astfel de functie G se numeste primitiva (antiderivata) a lui g pe T. De obicei I este interval din R.

Procedeul prin care se determina primitivele unei functii se numeste integrare (antiderivare).

A cunoaste o functie ca derivata revine la a cunoaste “o primitiva” a functiei. Utilizarea articolului nehotarât nu este o neglijenta gramaticala, ci vine sa atraga atentia ca este vorba de o primitiva a lui g din mai multe posibile. De exemplu, pentru functia g : R ® R, g(x) = x2, functiile G1, G2, G3 : R ® R:

sunt trei primitive ale lui g.

Multimea tuturor primitivelor unei functii g : I ® R se noteaza prin

DEFINITIE: Fie g : I ® R, I interval. Functia g admite primitive pe I daca exista G : I ® R cu proprietatile:

1) G este derivabila pe I

2) G’(x) = g(x), " x Î I

Observatii:

1) Întotdeauna trebuie precizata multimea pe care functia data admite primitive;

2) Functia G, din definitie, se numeste o primitiva a lui g. Daca G exista se spune ca g este primitivabila pe I.

3) Daca I = [a, b], atunci G’(a) = G’d(a) si G’(b) = G’s(b) (se iau derivatele la dreapta si la stânga în x = a si, respectiv, x = b)

Definitie: Fie g : I ® R o functie care admite primitive pe I. Multimea primitivelor lui g se numeste integrala nedefinita a lui g si se noteaza prin:

{ G : I ® R; G = primitiva a lui g }.

Observatie: Integrala nedefinita este o multime infinita de functii.