Planul și dreapta în spațiu

1.Reper cartezian in spatiu

Introducerea unui reper cartezian in spatiu se face trecand in mod natural de la cadrul bidimensional la cel tridimensional.

Vom numi deci reper cartezian in spatiu un reper triortogonal (O, , , ), in care O este originea, iar , , sunt versorii celor trei axe: a absciselor, a ordonatelor si, respective, a cotelor. Spatiul in care se da un reper cartezian il numim spatiu cartezian.

Multimea { , , } este baza a multimii vectorilor din spatiu. Intr-un astfel de reper, un vector se exprima in mod unic sub forma

= x + y + z , x,y,z R sau, pe scurt, (x, y, z).

Tripletul de numere (x, y, z) reprezinta coordonatele (abscisa, ordonata, cota) vectorului in baza { , , } a reperului (O, , , ).

Aceste numere determina in mod unic punctul M in spatiul cartezian. Fiecare pereche de axe determina un plan de coordonate; un reper cartezian in spatiu implica existenta a trei plane de coordonate: (xOy), (yOz), (xOz). Toti vectorii egali cu (x, y, z) au, in raport cu baza { , , } aceleasi coordonate. Vectorul defineste directia (x, y, z) si il numim vector director.

Modulul vectorului (x, y, z) este numarul negativ:

| | = ,

care exprima si distanta de la O la M (lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu fetele continute in planele de coordonate si avand O si M ca varfuri opuse).

Mai general, daca M1 (x1; y1; z1) si M2 (x2; y2; z2) sunt punctele raportate la acelasi reper, vectorul are coordonatele (x2 – x1, , z2 – z1), iar distanta dintre cele doua puncte este egala cu modulul acestui vector, deci

d (M1, M2) =

Observatie. Daca este masura unghiului dintre vectorul si versorul , analog si masurile unghiurilor dintre si , respective , din triunghiul MOMx, dreptunghic in Mx, avem

cos = =

Analog: cos = , cos =

Am obtinut astfel cosinusurile directoare ale directiei

Tripletul (cos ; cos ; cos ) reprezinta coordonatele versorului vectorului

Mai general, daca (l, m, n) este un vector director, coordonatele sale (l, m, n) se numesc parametrii directori (si directiei respective). Pentru simplificarea exprimarii spunem directia (l, m, n), iar cosinusurile sale directoare sunt date de:

cos = , cos = , cos =

In mod evident intre ele exista relatia: cos2 + cos2 + cos2 = 1.

1. Ecuatiile planului

1.1. Ecuatia generala a planului

Fie, in raport cu un reper cartezian, un punct M0 (x0, y0, z0) si vectorul director (l, m, n). Consideram un plan ( ) care contine punctul M0 si este perpendicular pe directia Atunci, oricare ar fi punctual M M0 din planul ( ), vectorul (l, m, n) este perpendicular pe vectorul (x – x0, y – y0, z – z0), deci produsul lor scalar este nul.

Transferand in spatiu expresia analitica a produsului scalar, rezulta ca

l (x – x0) + m (y – y0) + n (z – z0) = 0

Aceasta este ecuatia planului ( ) si scriind-o sub forma

lx + my + nz – (lx0 + my0 + nz0) = 0,

se vede ca ea este o ecuatie liniara in trei nedeterminate, ai carei coeficienti (l, m, n) sunt parametrii directori ai directiei perpendicularei pe planul ( ).

Rezulta ca ecuatia generala a unui plan este de forma

ax + by + cz + d = 0, a,b,c,d R

Tripletul (a, b, c) defineste directia perpendiculara pe acest plan (normala la plan).

Exemplu. Vectorul director al normalei la planul 2x – 3y + z + 5 = 0 este (2;-3;1). Daca in ecuatia generala a planului consideram y = 0, z =0, obtinem ax + d = 0, deci x = - (cu conditia a 0). Se obtine punctual A , taietura planului ( ) cu axa absciselor; analog se obtin taieturile B cu axa ordonatelor si C cu axa cotelor.