Mulțimi echipotente - numere cardinale

Multimi finite si infinite

Multimea tuturor varfurilor este un poliedru dat,multimea tuturor numerelor prime este mai mic ca un numar dat,si multimea tuturor locuitorilor din New York (la un moment dat) au aceeas proprietate,asadar,fiecare multime are un numar definit de elemente care pot fi gasite in principiu,dac nu in practica.Prin urmare aceste multimi se numesc finite.In mod clar putem fi siguri ca o multime este finita fara sa stim numarul ei de elemente.Pe de alta parte multimea tuturor numerelor intregi pozitive ,multimea tuturor punctelor de pe o dreapta,multimea tuturor cercurilor din plan,si multimea coeficientilor polinomiali si rationali au o alta proprietate in comun,cu alte cuvinte,daca eliminam cate un element din fiecare multime,apoi eliminam 2 elemente,apoi 3 si tot asa atunci tot vor mai ramane elemente in fiecare multime la fiecare etapa.Prin urmare multimile de acest fel se numesc infinite.

Date doua multimi putem decide intodeauna daca au sau acelas numar de elemente si daca nu putem determina intodeauna care multime are mai multe elemente ca cealalta.Este normal sa intrebam daca acest lucru este valabil si la multimile infinite.Cu alte cuvinte,are rost sa intrebam de exemplu daca sunt mai multe cercuri in plan decat numare rationale pe o dreapta sau mai multe functii definite pe intervalu [0,1] decat numarul dreptelor din spatiu?Asa cum vom vedea mai incolo,intrebarile de acest tip au un rapuns.

Pentru a compara doua multimi fnite A si B putem calcula numarul de elemente din fiecare multime si apoi sa comparam cele doua numere,dar in mod alternativ,putem incerca sa stabilim o corespondenta unu la unu(bijectiva) intre elementele celor doua multimi.O corespondenta prin care fiecare lement din A corespunde unui singur element din multimea B si vice versa.Este evident ca o corespondenta bijectiva dintre doua multimi poate fi realizata doar daca cele doua au acelas numar de elemente.De exemplu pentru a verifica daca numarul studentilor de la o adunare este acelas ca numarul de scaune din sala nu este necesar sa numaram studentii si scaunele.Este suficient sa observam daca sunt scaune libere sau daca sunt studenti care nu au unde sa stea.Daca toti studentii au unde sa stea si nici un scaun nu este liber atunci exista o corespondnta unu la unu intre scaune si studenti,atunci cele doua multimi au in mod sigur acelas numar de elemente.Punctul important de aici este faptul ca prima metoda(numararea elementelor) functioneaza doar daca multimile sunt finite,pe cand cea dea doua metoda (stabilirii unei corespondente unu la unu) functioneaza atat pentru multimi finite cat si pentru cele infinite

Multimi numarabile

Cea mai simpla multime infinita este Z+ a tuturor numerelor intregi pozitive.O multime infinita se numeste numarabila daca elementele sale pot fi puse intr-o corespondenta bijectiva cu cele din Z+.Cu alte cuvinte,o multime numarabila este o multim ale carei elemente pot fi numerotate .Prin multime nenumarabila intelegem o multime infinita xare nu poate fi numarabila.

Iata cateva exemple de multimi numarabile:

Exemplul 1: Multimea Z a tuturor numerelor intregi este numarabila.De fapt putem sa stabilim urmatoarea corespondenta bijectiva intre Z si Z+:

Mai exact,asociem numarul intreg nenegativ n≥0 cu numarul impar 2n+1.si numarul intreg nenegativ n<0 cu numarul par 2|n|:

( simbolul ↔reprezinta o corespondenta bijectiva)

Exemplul 2: Multimea tuturor numerelor pare pozitive este numarabila,asa cum arata corespondenta n↔2n

Exemplul 3:Multimea 2,4,8,....., de puteri ale lui 2 este numarabila asa cum arata corespondenta:

Exemplul 4: Multimea numerelor rationale Q este numarabila.Pentru a vedea acest lucru observam ca orice numar rational α poate fi scris fractional p/q ,q>0 ,Numim suma |p|+q inaltimea numarului rational α.De exemplu:

este singurul numar rational de inaltime 0

sunt singurele numere de inaltime 2

sunt singurele numere de inaltime 3 si tot asa.Putem aranja toate numerele rationale in ordinea inaltimii lor( cu numaratoru crescand in fiecare multime de numer rationale de aceeas inaltime).Cu alte cuvinte,numaram numerele rationale de inaltime 1,apoi pe cele de inaltime 2si tot asa.In acest fel asiguram fiecarui numar rational un singur numar pozitiv intreg ,stabilind astfel o corespondenta bijectiva intre Q si Z+

Analiza reala