Metode de Rezolvare a Problemelor de Concurență și Coliniaritate

În geometrie, ca şi în celelalte ramuri ale matematicii, nu există „chei universale”, motiv pentru care prin „metode de rezolvare a problemelor” nu se înţelege prezentarea unor reţetare absolute, care să asigure soluţionarea problemelor pe baza unor formule cunoscute sau algoritmi prestabiliţi.

Însuşirea noţiunilor de bază ale geometriei elementare şi folosirea acestora în mod selectiv în rezolvarea problemelor constituie esenţa procesului învăţării dirijate şi conştiente a acestei discipline.

Este esenţial ca rezolvitorul, dezvoltând operaţiile mentale fundamentale – analiza, sinteza, comparaţia, abstractizarea şi generalizarea – să îmbine diferitele ipoteze şi prin raţionamente logice să descopere soluţia; realizându-se în acest sens o unitate dialectică între formativ şi informativ.

În geometrie o problemă rezolvată nu este un punct terminus – în timp ce serveşte scopului propus în mod conţtient, ea devine şi o sursă de plecare pentru noi implicaţii, sugestii, probleme adiacente.

În rezolvarea problemelor de geometrie este absolut obligatorie stăpânirea metodelor generale şi a metodelor particulare de rezolvare a problemelor.

A. Metode generale:

metoda sintezei, metoda analizei, metoda reducerii la absurd.

A1 Metoda sintezei – se dovedeşte a fi utilă atât în rezolvarea problemelor de calcul cât şi în rezolvarea unor probleme de demonstraţie. Pentru demonstrarea unor teoreme sau pentru rezolvarea unor probleme se consideră o figură despre care se ştie că posedă proprietatea p şi se cere să arătăm că posedă proprietatea q, p  q

Metoda sintezei constă în a pleca de la propoziţia p şi a descoperi alte propoziţii r1, r2, , rk astfel încât p  r1  r2  rk  q.

Problemă: Fie un triunghi ABC şi punctele coliniare A, B, C unde A (BC), B (CA) şi C (AB).

Atunci are loc egalitatea : Teorema lui Menelaus:

Demonstraţie:

Fiind vorba de rapoarte şi legăturile ce trebuiesc stabilite între ele, apare necesitatea de a utiliza asemănarea triunghiurilor. Ne fiind triunghiuri asemenea, trebuie să le construim.

În acest sens ducem CD║ AB, unde D CA.

Din asemănarea triunghiurilor, obţinem:

Înmulţind cele două relaţii, obţinem că:

 de unde:

Considerând propoziţiile:

p: „punctele A’, B’, C’ coliniare”

q: „ ”

A2 Metoda analizei – este o metodă eficace în abordarea problemelor de calcul sau de demonstraţie. Se demonstrază implicaţia „p  q”

Se caută o propoziţie rn care s-o implice pe q, după care trebuie găsită o propoziţie rn-1 din care să deducem rn şi aşa mai departe până reuşim să găsim o propoziţie r1 care să rezulte direct din propoziţia p.

Problemă:

Să se arate că într-un tetraedru oarecare cele trei

bimediane sunt concurente

Într-un tetraedru numim bimediană segmentul

care uneşte mijloacele a două muchii opuse.

Orice tetradru are şase muchii, deci există trei

bimediane

În tetraedrul ABCD considerăm bimedianele [KL], [QP], [MN].

Trebuie să dovedim implicaţia „p  q” unde:

p: „ ABCD tetraedru, [KA] = [KB], [LC] = [LD], [MA] = [MC], [NB] = [ND], [PA] = [PD] şi [QB] = [QC]”

q: „ [KL], [MN], [PQ] concurente”

Se observă că propoziţiile:

t1 : „În paralelogramul KQLP diagonalele [KL], [PQ] sunt concurente şi se înjumătăţesc”

t2 : „În paralelogramul KNLM diagonalele [KL], [MN] sunt concurente şi se înjumătăţesc”

t3 : „În paralelogramul NPMQ diagonalele [MN], [PQ] sunt concurente şi se înjumătăţesc”

implică concluzia q.

Se observă că din propoziţiile:

a1: „KQ║LP şi KQ = LP”

a2: „KN║LM şi KN = LM”

a3: „MP║NQ şi MP = NQ” se deduc propoziţiile t1, t2, t3.

Cât priveşte propoziţiile a1, a2, a3, acestea sunt consecinţe directe ale propoziţiilor:

r1: „[KQ] linie mijlocie în triunghiul BAC şi [LP] linie mijlocie în triunghiul DAC”

r2: „[KN] linie mijlocie în triunghiul BAD şi [LM] linie mijlocie în triunghiul CAD”

r3: „[MP] linie mijlocie în triunghiul ACD şi [NQ] linie mijlocie în triunghiul BCD”

în sfârşit r1, r2, r3 se deduc imediat din p.

Schematic:

Redactarea soluţiei în mod natural:

În triunghiurile BAC şi DAC care au latura comună [AC] sunt puse în evidenţă liniile mijlocii [KQ] şi [LP], care corespund laturii comune.

Deci: KQ║LP şi KQ = LP Analog: KN║LM şi KN = LM

MP║NQ şi MP = NQ

Rezultă că patrulaterele KQLP, KNLM, MPNQ sunt paralelograme şi mai mult cele trei bimediane [KL], [QP], [MN] ale tetraedrului sunt diagonale în aceste paralelograme : [KL] şi [QP] în paralelogramul KQLP