Metode de investigare a stabilității unei soluții

METODA VALORILOR PROPRII

Teoria stabilităţii studiază proprietăţile soluţiilor stabile, oferă criterii, care permit pentru ecuaţia diferenţiala ori sistemul dat şi soluţia indicată să conchidem dacă este stabilă sau nu această soluţie.

Teoria stabilităţii este o ramură importantă a teoriei ecuaţiilor diferenţiale şi joacă un rol important în mecanică şi tehnică. Ea a fost creată prin efortul a mai multor matematicieni şi fizicieni: A.M. Liapunov, A.Poincare, I.Bendixon şi alţii. Problema despre stabilitatea mişcării a fost pusă în modul cel mai serios de savantul rus A.M.Liapunov, care a obţinut rezultate fundamentale în teoria stabilităţii, metode stricte de stabilitate şi nestabilitate a mişcării. Cercetările lui A.M.Liapunov au fost continuate cu succes de către alţi matematicieni.

O modalitate bună de a începe analiza sistemului neliniar

(1)

este de a determina punctele de echilibru ale (1) şi de a descrie comportamentul sistemului (1) lângă punctele de echilibru. În următoarele secţiuni vom arăta comportamentul local al sistemului neliniar (1) lângă un punct de echilibru hiperbolic. X0 este calitativ determinat de comportamentul sistemului neliniar

(2)

cu matricea A = Df(x0) lângă origine. Funcţia liniară Ax=Df(x0) se numeşte partea liniară a lui f la x0.

Definitie: Un punct x0 ℝ se numeşte punct de echilibru său punct critic al (1) dacă f(x0)=0. Un punct de echilibru x0 este numit punct de echilibru hiperbolic al (1) dacă niciuna din valorile proprii ale matricii Df(x0) nu au o parte reală.

Sistemul liniar (2) cu matricea A = Df(x0) se numeşte liniarizarea lui (1) la x0.

Daca x0=0 este punct de echilibru al (1) atunci f(0)=0 si din teorema lui Taylor

Rezultă că funcţia liniara Df(0)x constituie o bună aproximare la funcţia neliniara f(x) lângă x(0) şi este rezonabil să ne aşteptăm ca comportamentul sistemului neliniar (1) lângă punctul x0 va fi aproximat de comportamentul neliniar la x=0.

Notăm că dacă x0 este un punct de echilibru al (1) si este fluxul ecuatiei diferentiale al (1) atunci ( x0)= x0 pentru toate t ℝ. Astfel, x se numeşte punct fix al ; este de asemenea numit un zero, un punct critic sau un punct singular al campului de vectori f: ℝ .