Metode de Discretizare

spaţii normate (En) asfel încât :

i) există liniare şi continue numiţi operatori de prelungire.

ii) ( ) există rn:E operatori de restricţie.

- Operatorii Pn sunt lineari şi continui.

- En sunt spaţii de dimensiune finită, reprezentând spaţiile în care se discretizează funcţionala.

Vom nota cu ||.|| şi respectiv ||.||n normele, în E şi En. Spaţiile discretizori En sunt de aceeaşi natură cu spaţiul E.

Definiţia (1):

Fie . Spunem că un converge slab (tare)la u dacă :

în E, în topologia slabă (tare)

Definiţia (2):

Eroarea dintre soluţia exactă E şi soluţiile aproximative va fi:

||Pnun-u||=en.

Definiţia (3):

Fie , . Spunem că un converge discret la u dacă:

Cantitatea se numeşte eroarea discretă dintre un şi u.

Definiţia (4):

Discretizarea a spaţiului E este convergentă dacă:

Pnrnu-u||=0

Definiţia (5):

Discretizarea {En,Pn,rn} se numeşte stabilă dacă:

asfel încât ,

Lema (1):

Fie {En,Pn,rn}o discretizare stabilă a lui E.

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

I) {En,Pn,rn} este convergentă

II) ; V-subspaţiul lui E dens în E.

Lema (2):

Dacă discretizarea {En,Pn,rn} este stabilă şi convergentă pentru E, atunci convergenţa discretă implică convergenţa tare.

2.Discretizarea absolută

Definiţia (6):

Fie E şi F spaţii liniare normate şi un izomorfism al lui E în F. Vom spune că avem o discretizare externă a spaţiului E dacă am definit:

- un şir En de spaţii liniare normate,

- un şir de operatori de prelungire şi

- un şir de operatori de restricţie:

Dacă notăm cu ||.|| norma lui F, în acest caz:

• un converge tare la u

• un converge slab la u Pnuv eu

• un converge direct la u

Definiţia (7):

Spunem că discretizarea externă {En,Pn,rn}este convergentă dacă:

I)

II) Dacă avem un şir care converge slab în E la .

Noţiunea de discretizare externă este mai generală decât cea de discretizare externă, care se obţine pentru F=E şi e-operatorul identic.

Este uşor de constatat că lemele (1) şi (2) îşi păstrează valabilitatea şi pentru discretizarea externă (Lema (1)) trebuie uşor modificată prin adăugarea condiţiei (II) din definiţia (7).

3. Spaţii Sobolev