Metoda lui Newton pentru Ecuații Neliniare

1. METODA LUI NEWTON PENTRU ECUAŢII NELINIARE ÎNℝ

Fie funcţia neliniară şi ecuţia ataşată f(x) = 0. Pentru determinarea rădăcinilor ecuaţiei f(x) = 0, se folosesc metode numerice. Prin metodă numerică îınţelegem un procedeu prin care se generează un şir{ } de numere care converge la rădăcina ecuaţiei. În literatura de specialitate se mai foloseşte în loc de rădăcină şi noţiunea de zero al funcţiei f, adică numărul pentru care f( ) = 0 sau este soluţie a ecuaţiei f(x) = 0.

Construcţia metodei Newton

Fie funcţia neliniară f : [a, b] ℝ. Dezvoltarea în serie Taylor a funcţei f în jurul valorii [a, b] este:

Din această dezvoltare considerăm numai partea liniară, iar în locul ecuaţiei f(x) = 0 considerăm ecuaţia:

de unde

Fig.1.1 Construcţia metodei Newton

care este coordonata punctului de intersecţie al dreptei cu axa OX (figura 1.1). Prin generalizare rezultă metoda Newton (figura 1.2).

Fig 1.2. Metoda Newton

Metoda Newton simplificată rezultă din metoda Newton (1) unde înlocul calculului derivatei funcţiei f pentru fiecare iteraţie se calculează o singură dată valoarea metoda Newton simplificată este dată de formula:

unde [a, b] şi este dat, iar k = 0, 1, . . . .

Metoda Newton modificată este dată de formula

unde [a, b] şi este dat, iar k = 0, 1, . Metoda este similară cu metodaNewton simplificată doar că se impune calculul derivatei funcţiei f din p(k) în p(k + 1) paşi. De exemplu funcţia p ar putea fi p(k) = [k/2], iar în această situaţie s-ar calcula numai pentru obţinerea iteraţiilor impare. În acest cazmetoda poate fi scrisă sub forma:

cu k = 0, 1,. şi dat.