Metoda inducției matematice

O proprietate P (n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural n (k atunci sunt satisfacute simultan conditiile: (P (k), k (n) (P (n+1), ( () n (k, adica presupunem P (k) adevarata pentru orice k (n rezulta p (n+1) adevarata, pentru orice n (k. Fie E={1, 2,... n} o multime finita cu n elemente. Se numeste permutare a multimii E orice functie bijectiva f: E (E. conventie: 0! =1; 1! =1 Pn=n (n-1)! =n (n-1) (n-2)! 3. Aranjamente Notam cu Ank Sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei multimi cu n elemente (n (k), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k.

Ank=n! / (n-k)! =n (n-1) (n-2) (n-k+1) = (n-k+1) Ank-1 c. e. n (k conventie: n=k (Ann=Pn conventie: Cn0=Cnn=1 c. e. n (k Formule pentru combinari complementare: Cnk=Cnn-k Cnk=Cn-1k+Cn-1k-1 5. Binomul lui Newton Daca a, b (R, n (N, atunci: (a+b) n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ +Cnkan-kbk+ +Cnn-1abn-1+Cnnbn Tk+1=termen general k=se numeste rangul termenului al dezvoltarii (a-b) n= Cn0an-Cn1an-1b+Cn2an-2b2- + (-1) n-kCnkan-kbk+ + (-1) n-1Cnn-1abn-1+ (-1) nCnnbn Obs: 1) in dezvoltarea (a+b) n, dupa formula lui Newton, sunt n+1 termeni.

2) Cn0, Cn1, Cn2, , Cnn se numesc coeficienti binomiali 3) Sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii si coeficientul binomial al aceluiasi termen.

5) In dezvoltarea (a+b) n si (a-b) n, daca a=b atunci: Cn0+Cn1+Cn2+ +Cnn=2n Cn0+Cn2+Cn4+ =Cn1+Cn3+Cn5+ =2n-1 6) Identitatile utile: Cnk=Cn-1k-1+Cn-2k-1+ +Ck-1k-1 Cn+kk=Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+ +CnkCm0 7) Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale Folosim dezvoltarea (a+1) 2=a2+2a+1 pentru demonstratie unde a=1, 2,... n. 6. PROGRESII ARITMETICE SI GEOMETRICE Teorema: Fie numerele an-1, an, an+1 in progresie aritmetica. Atunci: 2an=an-1+an+1 Def: Fie numerele a1, a2, a3, , an in progresie aritmetica, daca an=a1+ (n-1) r sau an=an-1+1, unde: an= ultimul termen a1=primul termen an-1=penultimul termen n=numarul de termeni r=ratia progresiei aritmetice bn2=bn-1. bn+1 Def: Fie numerele b1, b2, bn in progresie geometrica, daca bn=b1. qn sau bn=bn-1. q unde: bn=ultimul termen b1=primul termen bn-1=penultimul termen n=numarul de termeni q=ratia progresiei geometrice ...