1. Metoda diferenţelor finite pentru modelul izotropic standard
Scriem relaţiile pentru componentele ale vectorului , punând , şi în loc de , şi , respectiv:
(1.1)
(1.2)
1.1 Modelul izoropic general
Adăugăm celor relaţii (1.1) condiţiile iniţilale pentru , , şi scrise sub forma:
(1.3)
Analog, adăugam celor relaţii (1.2) condiţiile iniţilale pentru , , şi scrise sub forma:
(1.4)
Notăm
(1.5)
(1.6)
De asemenea, punem:
(1.7)
Sistemul de ecuaţii (1.1)-(1.4) cu necunoscute , , poate fi scris sub forma matriceală:
(1.8)
unde matricea quasi-pentadiagonală şi matricea , ambele de tip , sunt:
Matricea se numeşte matricea de rigiditate asociată modelului.
Presupunem că matricea este inversabilă. Sistemul matriceal (1.8) devine:
de unde rezultă:
(1.9)
Înmulţind ecuaţia (1.9) cu la stânga obţinem:
(1.10)
Notând , ecuaţia (1.10) devine:
(1.11)
Se ştie din algebra liniară că dacă , atunci . În ipoteza că (unde ) nu sunt valori proprii ale matricei (ceea ce se întâmplă, de exemplu, dacă matricea este simetrică), atunci , aşadar este matrice inversabilă şi din relaţia (1.11) primim:
Raţionând similar pentru (adică exprimând din a doua ecuaţie (1.8) şi înlocuind în prima ecuaţie (1.8)), obţinem soluţia sistemului matriceal (1.8) sub forma:
(1.12)
1.2 Modelul izotropic pentru curbe închise
Presupunem că este o curbă închisă, deci . În acest caz luăm , pentru orice , iar derivatele se pot exprima pentru . Astfel, relaţiile (1.1) şi (1.2) sunt valabile pentru , iar sistemul matriceal (1.8) se scrie sub forma:
Referat la materia Matematica Avansata, an I master, UTCN
Pentru a descărca acest document,
trebuie să te autentifici in contul tău.