Matlab

1. Feladat

A feladat a következő:

Az Oxy vízszintes síkon elhelyezett ABC derékszögű háromszög metszetű prizma AB átfogója a vízszintes síkkal α szöget zár be, AC befogója pedig a vízszintes síkon súrlódás nélkül elcsúzhat. A prizma tömege M. A prizma AB ferde lapján súrlódásmentesen csúszik egy m tömegű nehezék. (1. ábra)

Keressük:

A differenciál egyenletek numerikus megoldása adott kezdőfeltételekkel. Az x1 és x2 kitérések és a megfelelő sebességek: v1, v2 kiszámítása és ábrázolása az idő függvényében, (x1, v1)-re, (x2, v2)-re. A prizma és a nehezék kirajzolása és animációja, valamint a fázisdiagramok tárgyalása.

2. Fogalom meghatározások

- Szabadságfok- a mozgó anyagi pont térbeli helyzetét meghatározó független paraméterek száma.

- Mozgási energia- (kinetikus energia) a mozgásban levő testek energiája. Egy test mozgási energiája egyenlő azzal a munkával, amit nyugalmi állapotból kell kifejtsen hogy elérje a kívánt sebességet és forgást.

- Tömegközéppont- az a nevezetes pont, mely sok szempontból úgy viselkedik, mintha a rendszer tömege ebbe a pontba volna koncentrálva. A tömegközéppont helye csak a rendszer részeinek tömegétől és elhelyezkedésétől függ. Merev test esetében a tömegközéppont a testhez képest rögzített helyen helyezkedik el (de nincs szükségképpen a testen belül). Ha egy rendszer elemei szabadon helyezkednek el a térben (például egy puska és a belőle kilőtt golyó) a rendszer tömegközéppontja olyan helyen lehet, ahol nincs egyáltalán tömeg. Egyenletes gravitációs mezőben lévő rendszer tömegközéppontját régebben súlypontnak is nevezték.

3. Megoldás

A rendszer szabadságfoka kettő. Az általános helyzet megadható a prizma C csúcspontjának x1 koordinátájával és a nehezék tömegközéppontjának x2 koordinátájával.

Ekkor a rendszer mozgási energiája:

potenciális energiája

V = -mg(x2-x1)tangα Lagrange-függvénye

A rendszer Lagrange- féle mozgásegyenletei:

ahonnan.

documentul este in maghiara