Matematici Speciale cu Teorie pe Scurt

1.Functii Analitice.Relatiile Couchy-Rieman

Fie E o multime de nr. C

f o functie (univoca) definite pe E (f:E)

zoÌE

Spunem ca f are limita l=l1+il2, , daca (")e>0,($)s(e)>0, (")z¹z0,zÌE, |z-z0|<s - |f(z)-l|<e

Def echivalenta: pt (")(zn),znÎE,zn->z0- f(zn)->l

w=f(z), w=u+iv,

z0=x0+iy0, z=x+iy

- functia f are limita l in pctul z0Ûu(x,y),v(x,y) au lim l1,l2 in punctual (x0,y0),adica :

daca l=f(z0), z0ÎE, functia este continua in z0, fe derivabila in z daca f’(z)= , limita nu depinde de curba Dz->0, Dz=Dx-iDy

Presupunem ca f dervabila in z

RELATIILE LUI COUCHY-RIEMAN(CN,nu S)

Def. Functia analitica pt mult E, este o functie derivabila in (") pct al unei multimi E.

f derivabil in punctul z=x+iy, daca derivatele partiale de ordinul 1 , car everifica relatia (1) si sunt continue in punctul (x,y), derivatele parrtiale contine ->formula lui Taylor de ord 1 pt. Fctiile u,v in punctul (x,y)

,

sa aratam :

Def:O functie u(x,y) este armonica pe domeniul D daca admite continue in (")(x,y)ÎD si verifica ceuatia lui Laplace in domeniul D

Daca f(z)=u(x,y)+iv(x,y analitica, pe dom D atunci u si v este armonic pe domeniul D din plan(armonic conjugate)

T.Couchy-Rieman

Fie f:DÌC->C, f(z)=u(x,y)+iv(x,y) derivabila in z0=x0+iy0 ÎD Û u,v : DÌC->C, diferentiabila in ( ), si in acest pct au lo egalitatile (Cond. Couchy-Rieman)

Daca f mongena in z0=x0+iy0Þ partea reala si cea imaginara a unei fctii olomorfe sunt functii armonice (Du=0,Dv=0)

Daca g:DÌC->C, g=u(x,y)+iv(x,y) data rpin u,v olomorfa pe DÞse poate scrie z=x+iy

g=f(z)=u(z,0)+iv(z,0)

Transformari conforme

Fie f analitica pe dom D,z0ÎD a.i. f ’(z0)¹0, dom. DÌC reprezentat conform pe DÌC prin f:D->D, sau D=f(D), este o imagine conforma daca f satisface cond,

-f bijectie

-f bicontinua(f,f –1, continue)

-f pestreaza unghiul dintre curba de raportul dintre lungimile arcelor elementare

Þse numeste TRANSFORMARE CONFORMA