Inele și corpuri

Un triplet (R, +, *), unde R este o multime nevida iar,, + si,, * sunt doua legi de compozitie pe R (numite adunare si inmultire), este inel daca: Un inel R se numeste comutativ daca satisface si axioma: (M3) xy=yx, ori care ar fii x, y apartine lui R.

Un inel R comutativ, cu cel putin 2 elemente si fara divizori al lui 0, se numeste, domeniu de integritate. Fie (R, +, *) inel. Operatia y-x=y+ (-z), y, z , R se numeste diferenta.

Intr-un inel (R, +, *) au loc urmatoarele propietati: 1). Oricare ar fii x ? R, x0=0x=0 2). Intru-un inel cu cel putin 2 elemente avem 1=0 3). Regula semnelor: Oricare x Oricare, (-x) y=x (-y) =-xy si (-x) (-y) =xy. 4). Distribuitatea inmultiri fata de scadere: oricare x , R, x (y-z) = xy xz si (y-z) x=yx zx. 5). Intr-un inel R fara divizori ai lui 0 putem simplifica cu elementele diferite de 0. adica oricare ar fi x, y, z, R, x = 0, xy = xz sau xy = zx?y=z. Elementele inversabine ale unui inel R se numeste unitati ale lui R.

Notam cu U (R) multimea unitatilor inelului R.

U (R) este grup in raport cu operatia indusa de inmultirea lui R numit grupul unitatilor inelului R.

Fie I o multime nevida si R un inel. Notam R ={f| f: I?R}multimea tuturor functiilor f: I?R. pentru f, g , R si x ? I, f (x) si g (x) sunt elementele ale inelului R.

Putem defini astfel functiile: f+g: I , R, (f+g) (x) = f (x) + g (x) , x , I si fg: I , R, (fg) (x) = f (x) * g (x) numita suma respectiv produsul functiei f cu o functie g.

(R, +, ) este inel si, in cazul in care (R, +, *) este comutativ, (R, +, *) este inel comutativ.

Daca R este domeniu de integritate, atunci R[X] este domeniu de integritate si oricare ar fi f, g , R[X], f = 0, g = 0, grad fg=grad f=grad g.

Fie R inel comutativ, f=a0 + a1+. +an x , R [X] si a , R.

Elementul f (a) = a0+ a1a + a2a +. +an a , R, se numeste valoarea in a a polinomului f.

Valoarea sumei si a produsului polinoamelor f, g , R [X] in a , R este egala cu suma, respectiv prod val lui f si g in a: (f+g) (a) = f (a) + g (a), (fg) (a) =f (a) g (a). Fie f , R [X]. Functia f*: R ?R definita prin f * (x) = f (x) , R, oricare ar fi x ? R este functia polinomiala asociata polinomului f.

Vom nota functia f* tot cu f Zerourile functiei polinomiale functiei polinomiale f, se numeste radacina din R ale polinomului f.

Asadar un element a , R, este radacina dinR a polinomului f , R [X]daca f (a) =0. Teoria restului: restul impartiri polinomului f , R [X] se divide prin: x-a , R [X] este f (a). Teoria factorului, bezout: polinomul f , R [X] se divide prin x-a ? R [X] daca si numai daca f (a) =0. Proprietati: 1. Un corp nu are divizpri ai lui 0. 2. Elementele nenule ale unui corp formeaza grup cu inmultirea.

3. orice domeniu de integritate finit este corp.

Fie inel R, +* si (R, +. *). O functie f: R?R se numeste morfism de inel daca, x, y , R: (1) f (x+y) =f (x) + f (y) (2) f (x*y) =f (x) * f (y) ; (3) f (1) =1, unde 1 unitatea inelului R si 1 unitatea lui R.

Un morfism de inel bijectiv se numeste ...