Inegalitatea mediilor

Pentru a si b >0 notam ma = , mg = , mh = , mp = ;

? Ma se nume?te media aritmetica a numerelor a si b;

? Mg se nume?te media geometrica a numerelor a si b;

? Mh se nume?te media armonica a numerelor a si b;

? Mp se nume?te media patratica a numerelor a si b;

Printr-un calcul simplu se arata ca :

min(a,b) mh mg ma mp max(a,b) cu egalitate daca ?i numai daca a = b;

In continuare vom demonstra geometric unele dintre acestea:

1 . Consideram un triunghi dreptunghic avad ipotenuza BC ?i CD=a, DB=b iar

AD BC. Evident mediana AM = iar

inaltimea AD = .Avem AM AD cu egalitate

cand M=D adica a=b. Deci ma mg ;

2. In triunghiul dreptunghic ABC , se considera un punct P pe ipotenuza (BC). Demonstra?i ca AP2=

Fie AD inal?ime,deci AD mediana ?i AD =BC/2=(BP+PC)/2.Presupunem

CP PD deci PD =CP - CD =CP - BC /2= CP - (CP+BP) /2=(CP - BP ) /2;