Inegaliăți remarcabile și tehnici cu aplicabilitate largă

Inegalităţi remarcabile şi tehnici cu aplicabilitate largă

Se spune că relaţia care guvernează cu adevărat matematica este cea de inegalitate, fiind un caz special.

Deoarece s-au impus în matematică, prin frecvenţa cu care apar în rezolvarea diverselor probleme teoretice sau practice, prin aportul lor la justificarea altor inegalităţi, unele inegalităţi clasice au devenit celebre, dintre acestea amintim: inegalitatea lui Kauchy – Buiniakowiski – Schvarz inegaliatea mediilor a lui Kauchy, inegaliatea lui Bernvulli, etc.

Inegalitatea mediilor îşi găseşte o largă aplicabilitate în demonstrarea unor inegalităţi algebrice sau geometrice, a unor maxime şi minime algebrice sau geometrice precum şi în rezolvarea unor probleme de fizică

Inegalitatea mediilor

1. Definiţie. Cu numerele reale strict pozitive a şi b se pot forma:

(a). Media aritmetică:

(b). Media geometrică:

(c). Media armonică:

(d). Media pătratică:

2. Temă. Au loc inegalităţile:

(a).

(b).

3. Demonstraţie. (a). Observăm că

În mod analog

În fine

4. Inegalitatea Iui Cauchy-Buniakowski -Schwarz. Dacă a,b,x,y sunt numere reale, atunci .

Demonstraţie. Observăm că