Funcții derivabile

Au existat doua probleme, una fizica - modelarea matematica a notiunii intuitive de viteza a unui mobil - si alta geometrica - tangenta la o curba plana -, care au condus la descoperirea notiunii de derivata. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom putea da definitia matematica a acestui concept. I.

1o Definitia derivatei unei functii intr-un punct 2) Daca derivata ? (x0) exista si este finita se spune ca functia ? este derivabila in x0. 2. Trebuie remarcat ca problema existentei derivatei sau a derivabilitatii nu se pune in punctele izolate ale multimii E (daca E are astfel de puncte! ). Presupunem ca ? (x0) exista; facand translatia x x0 = h, atunci din relatia de definitie rezulta ca TEOREMA 1. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

In general reciproca teoremei este falsa. Un exemplu este functia modul in origine. In studiul existentei limitei unei functii intr-un punct un criteriu util l-a constituit egalitatea limitelor laterale. Adaptam acest criteriu la studiul derivabilitatii unei functii intr-un punct, tinand cont ca existenta derivatei implica in fond existenta unei anumite limite. exista (in R barat), atunci aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei ? in punctul x0. Daca, in plus, aceasta limita exista si este finita, atunci se spune ca ? este derivabila la stanga in punctul x0. Daca E=[a, b], faptul ca ? este derivabila in a (respectiv b) revine la aceea ca ? este derivabila la dreapta in punctul a (respectiv la stanga in b). Exemplu: Pentru ?: R?R, ? (x) =| x |, avem Similar se obtine ca: regasim ca ? nu este derivabila in punctul x = 0. I.

2o Interpretarea geometrica a derivatei graficul lui ? are tangenta in x0 (sau mai corect in punctul (x0, ? (x0)), anume dreapta de ecuatie Fara nici o dificultate, se poate vorbi de semitangenta la dreapta sau la stanga intr-un punct la un grafic, in legatura cu derivatele laterale respective in acel punct.

Geometric, pentru o functie derivabila intr-un punct, directiile semitangentelor la dreapta si stanga la grafic in acel punct coincid.

Exemple: ? II. Operatii cu functii derivabile.

Derivatele unor functii uzuale Am intalnit deja exemple de functii derivabile.

Este utila o sinteza a derivatelor functiilor uzuale si se impune stabilirea unor reguli generale de derivare a sumelor, produselor, compunerilor etc. de functii derivabile.

II. 1o Derivatele catorva functii uzuale Orice functie constanta ?: R ? R, ? (x) =c este derivabila pe R, cu derivata nula Functia putere ?: R ? R, ? (x) = xn (n real si x > 0) este derivabila pe R si ? (x) =nxn-1. (cos x) = -sin x Demonstratiile tuturor acestor derivate se fac usor folosind definitia derivatei.

II. 2o Reguli de derivare Atunci: (a) suma ? + g este derivabila in x0 si (b) ?? este derivabila in x0 si (c) produsul ?g este o functie, derivabila in x0 si Demonstratia se face de ...