Funct¸ii biometrice
Not¸iunea de asigurare de persoane prive¸ste modalitˇat¸ile de platˇa care au loc, nu ˆın
mod cert ci numai probabil, ˆın funct¸ie de realizarea unor evenimente legate de viata sau
de moartea persoanei asigurate. Fenomenele de viat¸ˇa ¸si de moarte li se pot asocia anumite
caracteristici prin care acestea se studiazˇa. Cea mai importantˇa caracteristicˇa este
mortalitatea. Intensitatea mortalitˇat¸ii se poate mˇasura prin anumit¸i coeficient¸i numerici.
Fiecare coeficient poate lua mai multe valori, variat¸ia sa prezentˆand un aspect funct¸ional:
ˆın general variabila independentˇa este vˆarsta, iar funct¸ia (variabila dependentˇa) este mortalitatea.
1. Probabilitˇat¸ile de viat¸ˇa ¸si de deces
Se considerˇa o colectiitate de aceea¸si vˆarstˇa - x ani. Se poate formula urmˇatoarea
ˆıntrebare: care este probabilitatea ca o persoanˇa ˆın vˆarstˇa de x ani sˇa fie ˆın viat¸ˇa la vˆarsta
de y ani, y x. Rˇaspunsul la acestˇa ˆıntrebare este dat de probabilitatea de viat¸ˇa,notatˇa
prin simbolul p(x, y). Probabilitatea evenimentului contrar ca persoana ˆın vˆarstˇa de x ani
sˇa nu mai fie ˆın viat¸ˇa la y ani este probabilitatea de deces, notatˇa cu simbolul q(x, y). Are
loc relat¸ia corespunzˇatoare probabilitˇat¸ilor unor evenimente contrare:
p(x, y) + q(x, y) = 1.
In particular, dacˇa y = x + 1 vom scrie p(x, y) = px ¸si q(x, y) = qx, iar dacˇa y = x + n
vom scrie p(x, y) = npx ¸si q(x, y) = nqx.
2. Funct¸ia de suprafiet¸uire
Una dintre cele mai importante caracteristici utilizate ˆın teoria asidurˇarilor de persoane
este funct¸ia de supraviet¸uire. Aceasta este o funct¸ie de vˆarsta persoanei asigurate,
definitˇaca valoarea medie a numˇarului de persoane care ajung la vˆarsta de x ani dintr-un
numˇar de la persoane de a ani. Aici a x. Pentru funct¸ia de supraviet¸uire se folose¸ste
simbolul lx. Notˆand cu z numˇarul persoanelor ˆın viat¸ˇa la x ani ¸si cu p(a, x) probabilitatea
ca o persoanˇa ˆın vˆarstˇa de a ani sˇa fie ˆın viat¸ˇa la vˆarsta de x ani se poate scrie urmˇatoarea
distribut¸ie de tip Bernoulli:
z :
"
z
Cz
la(p(a, x))la−z(q(a, x))z
#
, z = 0, la.
Valoarea medie a acestei distribut¸ii este produsul dintre probabilitatea de viat¸ˇa p(a, x) ¸si
numˇarul colectivitˇat¸ii la. Notˆand M(z) = lx, rezultˇa
lx = p(a, x) · la
de unde
p(a, x) =
lx
la
.
Evenimentul ca o persoanˇa ˆın vˆarstˇa de a ani sˇa fie ˆın viat¸ˇa la vˆarsta de y ani se poate
concepe ca intersect¸ia a douˇa evenimente dependente: primul, ca persoana ˆın vˆarstˇa de a
ani sˇa fie ˆın viat¸ˇa la x ani ¸si al doilea, ca persoana ˆın vˆarstˇa de a ani, care a ajuns la x ani,
sˇa fie ˆın viat¸ˇa vˆarstˇa de y ani. Atunci conform formulei pentru probabilitatea intersect¸iei
a douˇa evenimente se poate scrie:
p(a, y) = p(a, x) · p(x, y),
adicˇa
p(x, y) =
p(a, y)
p(a, x)
,
de unde
p(x, y) =
ly
lx
.
3. Viat¸a medie
Viat¸a medie, notatˇa cu simbolul ex, se define¸ste ca valoarea medie a numˇarului de ani
cˆat¸i mai are sˇa trˇaiascˇa o persoanˇa ˆın vˆarstˇa de x ani. Variabila aleatoare corespunzˇatoare
z are distribut¸ia:
z :
"
n + 1
2
n
n+1qx
#
, n = 0, 1, . . . .
unde n
n+1qx este probabilitatea ca persoana sˇa decedeze ˆıntre x+n ¸si x+n+1 ani, adicˇa:
n
n + 1
qx = p(x, x + n)qx+n =
lx+n
lx
1 −
lx+n+1
lx+n
=
lx+n − lx+n+1
lx
.
Prin urmare ex = M(z) are valoarea
ex =
X
n0
n +
1
2
lx+n − lx+n+1
lx
sau simplificˆand relat¸ia:
ex =
1
2
+
1
lx
X
n0
lx+n.
Observat¸ia 1. Se presupune cˇa decesul are loc ˆıntre x+n ¸si x+n+1 ani, la jumˇatatea
anului ¸si de aceea se considerˇa n + 1
2 ani cˆat¸i are de trˇait persoana ˆın vˆarstˇa de x ani.
Observat¸ia 2. Lipsa indicelui superior la semnul sumˇa aratˇa cˇa ˆınsumarea este limitatˇa
numai la acei indici ai elementelor contituitive pentru care vˆarsta x+n nu depˇa¸ste limita
de vˆarstˇa (practic 100 ani).
Pentru a descărca acest document,
trebuie să te autentifici in contul tău.
