Funcția de gradu 2

Definitie. Fiind date numerele reale, a,b,c cu a? 0, functia f : R?R definita prin formula: f(x) = ax? + bx + c se numeste functie de gradul al doilea cu coeficientii a, b, c.

1) Deoarece domeniul si codomeniul functiei de gradul al doilea este R vom indica aceasta functie astfel:

f(x) = ax? + bx + c sau y = ax? + bx + c

2) O functie de gradul al doilea f : R?R, f(x) = ax? + bx + c este perfect determinata cand se cunosc numerele reale a, b, c (a ? 0).

3) Trebuie sa observam ca in definitia functiei de gradul al doilea conditia a ? 0 este esentiala in sensul ca ipoteza a = 0 conduce la functia de gradul intai, studiata in clasa a VIII-a.

4) Denumirea de functie de gradul al doilea provine din faptul ca este definita prin intermediul trinomului de gradul al doilea aX? + bX + c.

Exemple de functii de gradul al doilea

1) f1 (x) = 7x? - 9x + 10, (a = 7, b = -9, c = 10);

2) f2 (x) = ?2x? + ?2x + 1, (a = ?2, b = ?2, c = 1);

3) f3 (x) = 0.51x? - 2x, (a = 0.51, b = -2, c = 0);

4) f4 (x) = x? + 0.31, (a = 1, b = 0, c = 0.31);

5) f5 (x) = -x? - 5x - 0.31, (a = -1, b = -5, c = -0.31).

2. VARIATIA Si REPREZENTAREA GRAFICA A FUNCTIEI DE GRADUL AL DOILEA

? Forma canonica

Reamintim ca pentru orice x ? R

ax? + bx + c = a[(x + b/2a)? - (b? - 4ac)/4a?]

Rezulta ca pentru orice x ? R, avem

f(x) = a[(x + b/2a)? - (b? - 4ac)/4a?] (1)

Membrul drept al egalitatii (1) se numeste forma canonica a functiei patratice. Numarul ? = b? - 4ac, discriminantul ecuatiei asociate (ax? + bx + c = 0), se mai numeste discriminantul functiei patratice.

Observam ca f(-b/2a) = -?/4a

Exemple

a) 2x? - x + 3 = 2[x? - 1/2x + 3/2] = 2[x? - 2*x*1/4x + 1/16 - 1/16 + 3/2] = 2[(x -1/4)? + 23/16] = 2(x - 1/4)? + 23/8;

b) -3x? - 4x + 5 = (-3)[x? + 4/3x - 5/3] = (-3)[x? + 2*2/3x + 4/9 - 4/9 - 5/3] = (-3)[(x + 2/3)? - 19/9] = (-3)(x +2/3)? + 19/3