Fractalii - Teoria Haosului

Istoria in sine a fractalilor nu este lunga. A inceput brusc in 1975 cu lucrarea revolutionara a matematicianului Benoit Mandelbrot: "O teorie a seriilor fractale", care mai tarziu a devenit cartea sa manifest "Geometria fractala a naturii". Mandelbrot a inventat cuvantul fractal, pentru a reuni munca multora dinaintea sa.

Matematicieni ca Waclaw Sierpinski, David Hilbert, George Cantor si Helge von Koch au creat primii fractali, in general ca exercitii abstracte, neavand nici o idee despre semnificatia lor.

Multi dintre ei considerau aceste forme patologice, dizgratioase sau chiar dezgustatoare. Ce socati ar fi acum sa afle ca sunt mai cunoscuti tocmai prin acele forme care i-au ingrozit mai mult.

Cativa dintre acesti pionieri aveau motive intemeiate pentru dezgustul lor pentru aceste "aberatii" geometrice. Ei au simtit ca descoperisera ceva ce sfida si ameninta cateva din convingerile cele mai pretioase. O evaluare ulterioara ne arata ca perioada lor (aproximativ 1875-1925) era de fapt o perioada de criza in matematica. Iar si iar, matematicienii dadeau peste forme bizare care intrau in contradictie cu conceptele lor despre spatiu, suprafata, distanta si dimensiune.

In 1982, Mandelbrot si-a extins doua eseuri anterioare creand lucrarea deschizatoare de drumuri "Geometria fractala a naturii".

El a inventat cuvantul "fractal" (din latinescul "frangere" care inseamna "a sparge in fragmente neregulate"), astfel incat inversele forme au putut fi unificate sub un singur nume. Pentru a fi clasificata oficial ca fractal, o forma trebuie sa aiba dimensiunea Hausdorff-Besicovitch mai mare decat dimensiunea sa topologica traditionala. Pe scurt, fractaliii sunt toate acele ciudatenii care umplu spatiul si pe care matematicienii le abandonasera ca fiind dezarmant de complexe. Mandelbrot nota patetic "deoarece cuvantul algebra deriva din cuvantul arab jabara (a lega impreuna), intre cuvintele fractal si algebra este o contradictie etimologica".

Benoit Mandelbrot si-a intemeiat geometria fractala bazandu-se in principal pe simularea sa incununata de succes a tendintei preturilor bunurilor de consum, iar analiza pietii ramane una din cele mai atragatoare aplicatii ale geometriei fractale.

Piatra Filosofica a oricarui analist al pietii este, desigur, sa precizeze comportarea preturilor cu destula exactitate pentru a se umple de bani cat mai repede. Daca cineva a pus mana pe aceasta Piatra, probabil ca-si foloseste cateva in miliardele sale pentru a-si apara secretul. In domeniul pietii, ca si in alte domenii in care fractalii si haosul dau rezultatele, rareori se dovedesc atat de folositori pentru prezicere, pe cat sunt pentru simulare.

Simularea fractala poate modela si prezice natura general statistica a unui sistem, fara sa-i prevada comportarea specifica intr-un anumit moment. De exemplu, simularile din 1953 ale lui Mandelbrot asupra pretului bumbacului continuau sa prezica cu exactitate cantitatea de variatie din pretul bumbacului, atat lunara cat si anuala.

Totusi ele nici macar nu pot pretinde cat ne indica pretul bumbacului in 2002.

Prin 1980 grafica pe calculator a progresat intr-atat incat forme ca "Linia de coasta Koch" si "Covorul lui Sierpinski" puteau fi reprezetate cu detalii explicite. "Geometria fractala a naturii" era o galerie a acestora si a altor forme geometrice, dintre care multe nu fusesera vazute niciodata. Multe dintre ele erau simple automate celulare in care fiecare linie era transformata repetat in linii mai mici.

Dupa ce a lucrat o perioada cu fractalii "naturali" auto-reflectivi, Mandelbrot a descoperit ca procesele iterative similare pot produce constructii matematice abstracte cum ar fi faimoasa "serie Mandelbrot" si "seria Julia ". Ca si alti fractali, aceste serii au fost descoperite cu mult inainte de Mandelbrot, dar erau atat de complexe incat necesitau calculatoare puternice pentru a le cerceta si vizualiza.

Unul dintre primii si cei mai faimosi fractali matematici a fost inventat de un astronom. La inceputul anilor 1960 Michel Hanon de la observatorul din Nisa din Franta a observat o comportare tulburatoare intr-un simplu model al stelelor care orbiteaza intr-o galaxie. Cateva dintre orbite erau line si stabile, in timp ce altel pareau aproape aleatoare. La inceput, el si colegii lui au ignorat pur si simplu orbitele anormale presupunand ca ele apar datorita unor erori de calcul inexplicabile. In cele din urma Henon a descoperit ca acest tip de comportare haotica era o parte esentiala a dinamicii orbitelor stelare.

Chiar inainte ca fractalii sa fie larg acceptati ca matematica adevarata, imaginile pe care ei le produceau au devenit foarte populare. Matematicienii artisti, cum ar fi Richar Voss, Greg Turk si Alan Norton au perfectionat procedurile de baza ale lui Mandelbrot pentru a crea peisaje uimitoare, atat realiste cat si abstracte.

Brusca revenire a matematicii ca arta a fost mult intarziata. Stiinta si matematicile secolelor al XIX-lea si al XX-lea pierdusera legatura cu vizualul si intuitivul. Teoriile moderne ca relativitatea si mecanica cuantica sunt frumoase si elegante dar trebuie sa fii un Albert Einstein sau Erwin Schrodiger pentru a le aprecia frumusetea. Pe de alta parte, atat nespecialistii cat si matematicienii pot aprecia chiar si cea mai abstracta imagine fractala.

In timp ce fractalii castigau toate premiile la expozitiile de grafica pe calculator, aproape toate disciplinele stiintifice descopereau frumoasele lor modele haotice. Fizicienii, trasand grafic starea particulelor, gaseau tulburatoare opere de arta aparand pe imprimatele lor.

Biologii si psihologii diagnosticheaza boli dinamice, care apar cand ritmurile fractale devin desincronizate.

Seismologii chiar au descoperit valuri fractale care strabat scoarta terestra. Meteorologii, economistii, chimistii, hidrologii si aproape toate ramurile ingineresti se intalneau cu forme care erau mult mai frumoase decat previzibile.

In anii 1980 fractalii rasareau din fiecare ecuatie sau procedura binecunoscuta, de la metoda lui Newton pana la banala functie cosinus.

La inceputul anilor 1980, matematicianul Michel Barsley s-a alaturat randurilor mereu crescande de "fractalieri". Cand era copil, Michel a fost fascinat in mod deosebit de anumite ferigi. Nu a putut stabili exact ce conferea ferigilor frumusete lor magica decat multi ani mai tarziu.