Forme liniare, biliniare și pătratice

Fie spatiul vectorial (liniar) V peste corpul K. Functia se numeste forma (functionala) liniara, daca sunt satisfacute conditiile:

sau echivalent: .

Aceasta proprietate definitorie a formelor liniare se generalizeaza:

Exemplu: Fie si .

este o forma liniara definita pe (cu coeficientii fixati).

Intr-adevar: .

.

Observatie: Fie dim si o baza in spatiul vectorial V , unde sunt coordonatele vectorului x in baza B.

Fie o forma liniara definita pe V:

, unde se numesc coeficientii formei (functionalei) liniare L in baza B (vezi exemplul).

Observatie: Are loc egalitatea matriceala:

Functia se numeste forma (functionala) biliniara, daca este liniara in ambele variabile x, y, adica satisface:

1)

2) .

Forma biliniara se numeste simetrica daca

Exemplu: Fie

Atunci este o forma biliniara definita pe (cu coeficientii fixati). Acest lucru se verifica usor.

Observatie. Fie si o baza in spatiul V .

Fie o forma biliniara definita pe V:

, unde constituie o matrice patratica cu elemente din corpul K: care se numeste matricea formei biliniare B in baza B.

Observatii: 1) Are loc egalitatea matriceala: .

2) Daca B este forma biliniara simetrica atunci si matricea ei este matrice simetrica. Intr-adevar: .

Fie B o forma (functionala) biliniara simetrica: .

Se numeste forma (functionala) patratica definita pe spatiul vectorial V (peste corpul K), forma

Matricea simetrica este matricea formei patratice in baza B (este aceeasi cu matricea formei biliniare simetrice din care provine). Are loc egalitatea matriceala: .

Evident daca se schimba baza B in spatiul vectorial V, se schimba si matricea formei.

Exemplu: Fie , unde pentru (in baza canonica) .