Ecuația dreptei în plan

Ecuatia dreptei in plan

Fie o dreapta d si un punct M care nu apartine dreptei. Proiectia ortogonala a punctului M pe dreapta d este intersectia dreptei d cu perpendiculara prin M pe d. Daca MM d si M d, atunci (Fig.1) proiectia lui M pe d este M si se noteaza M = prd M.

Fig.1

1.Ecuatia dreptei.

Fiind data o functie de gradul I, ’ : R’ R, definite prin ’(x) = ax + b, unde a si b sunt constante date, a ` 0, graficul ei este multimea punctelor de coordinate (x, y) unde x R si y = a + b .

Oricare trei puncte distincte ale graficului functiei de gradul I, (Fig.2),

A(x1, y1), B(x2, y2) si C(x3, y3), sunt coliniare deoarece verifica relatia .

Fig.2

Intr-adevar, deoarece punctele A, B si C apartin graficului rezulta y1=ax1+b, y2=ax2+b si y3=ax3+b.

Se obine

Deci, graficul functiei ’: R’R, ’(x) = ax + b, a ` 0, este o dreapta.

Punctele acestei drepte au coordonatele (x,y) care verifica ecuatia y=ax+b,

numita ecuatia dreptei. In cazul a=0, graficul functiei ’: R’R, ’(x) = b este, de asemenea, o dreapta paralela cu axa Ox si are ecuatia y=b (Fig.3).

Fig.3

Se pune, acum, problema inversa: fiind data o dreapta sa se afle ecuatia ei.

Intr-un plan, o dreapta este determinata daca se cunosc doua puncte distincte ale ei sau daca se cunoaste un punct si directia dreptei.

2.Ecuatia dreptei in plan determinata de un punct si o directie data.

Se stie ca printr-un punct A exterior unei drepte d, trece o singura dreapta paralela cu d.

Tinand cont ca dreapta d defineste, de fapt, o directie, propietatea de mai sus se poate reformula si astfel: printr-un punct A trece o singura dreapta care are o directie data. O directie poate fi data printr-un vector nenul.

Fie, deci, punctul A(x0, y0) si directia data prin vectorul nenul = + .

Se cere ecuatia dreptei d care trece prin A si este paralela cu (Fig.4).