Definirea axiomatică a algebrei booleene, funcții boleene, reprezentarea

Fie o multime M compusa din elementele x1, x2, xn, impreuna cu operatiile (si +. Aceasta multime formeaza o algebra daca: Multimea M contine cel putin 2 elemente distincte x1 (x2 (x1, x2 (M); Pentru (x1 (M, x2 (M avem: x1 + x2 (M si x1 (x2 (M Operatiile (si + au urmatoarele proprietati: sunt comutative x1 (x2 = x2 (x1 x1 + x2 = x2 + x1 sunt asociative x1 ( (x2 (x3) = (x1 (x2) (x3 x1 + (x2 + x3) = (x1 + x2) + x3 sunt distributive una fata de cealalta x1 ( (x2 + x3) = x1 (x2 + x1 (x3 x1 + (x2 (x3) = (x1 + x2) ( (x1 + x3) Ambele operatii admit cate un element neutru cu proprietatea: x1 + 0 = 0 + x1 = x1 x1 (1 = 1 (x1 = x1 unde 0 este elementul nul al multimii, iar 1 este elementul unitate al multimii.

Daca multimea M nu contine decat doua elemente, acestea trebuie sa fie obligatoriu elementul nul 0 si elementul unitate 1; atunci pentru (x (M exista un element unic notat cu x cu proprietatile: In definirea axiomatica a algebrei s-au folosit diferite notatii. In tabelul urmator se dau denumirile si notatiile specifice folosite pentru diverse domenii: 1. 3. Proprietatile algebrei booleene Plecand de la axiome se deduc o serie de proprietati care vor forma reguli de calcul in cadrul algebrei booleene. Aceste proprietati sunt: Idempotenta x (x = x x + x = x Absorbtia x1 ( (x1 + x2) = x1 x1 + (x1 (x2) = x1 Proprietatile elementelor neutre x (0 = 0 x (1 = x x + 0 = x x + 1 = 1 Formulele lui De Morgan x1 + x2 = x1 (x2 Aceste formule sunt foarte utile datorita posibilitatii de a transforma produsul logic in suma logica si invers.

Formulele pot fi generalizate la un numar arbitrar de termeni: Principiul dualitatii daca in axiomele si proprietatile algebrei booleene se interschimba 0 cu 1 si + cu (, sistemul de axiome ramane acelasi, in afara unor permutari.

Verificarea proprietatilor se poate face cu ajutorul tabelelor de adevar si cu observatia ca doua functii sunt egale daca iau aceleasi valori in toate punctele domeniului de definitie.

Prin tabelul de adevar se stabileste o corespondenta intre valorile de adevar ale variabilelor si valoarea de adevar a functiei.

Obs. Comutativitatea si asociativitatea pot fi extinse la un numar arbitrar, dar finit, de termeni, indiferent de ordinea lor.

1. 4. Functii booleene O functie f: Bn (B, unde B = (0, 1 (se numeste functie booleana. Aceasta functie booleana y = f (x1, x2, , xn) are drept caracteristica faptul ca atat variabilele cat si functia nu pot lua decat doua valori distincte, 0 sau 1. Functia va pune in corespondenta fiecarui element al produsului cartezian n dimensional, valorile 0 sau 1. Astfel de functii sunt utilizate pentru caracterizarea functionarii unor dispozitive (circuite) construite cu elemente de circuit avand doua stari (ex.: un intrerupator inchis sau deschis, un tranzistor blocat sau in conductie; functionarea unui astfel de circuit va fi descrisa de o ...