Convoluția semnelor

Produsul de convoluţie a două semnale, şi , este o funcţie x(t) definită prin:

(3.57)

Convoluţia se mai notează sau .

Proprietăţile produsului de convoluţie

1. Comutativitatea:

(3.58)

2. Transformata Fourier a produsului de convoluţie:

(3.59)

Prin transformata Fourier produsul de convoluţie devine un produs algebric al caracteristicilor spectrale.

Pentru a demonstra relaţia (3.59), explicităm transformata Fourier a convoluţiei:

Făcând schimbarea de variabilă , relaţia de mai sus devine:

3. Convoluţia unui semnal x(t) cu distribuţia delta este egală cu semnalul x(t):

(3.60)

Proprietăţile de sondare în timp şi în frecvenţă ale distribuţiei  (vezi relaţiile (3.32) şi (3.34)) conduc la relaţiile mai generale:

(3.61) ;

Deci convoluţia unei funcţii cu distribuţia  este egală cu funcţia respectivă având argumentul distribuţiei .

4. Fiind date semnalele şi , avem:

(3.62) ,

unde:

Pentru a demonstra relaţia (3.62), se consideră:

. Şi cum:

, iar:

, atunci:

,

deci relaţia (3.62) este demonstrată. Această relaţie se generalizează în raport cu derivatele/integralele de ordin n:

5. Dacă se consideră şi , se obţine:

Deoarece şi (treaptă unitară), rezultă:

(3.63)

6. Convoluţia unui semnal x(t) cu treapta unitară u(t) se poate scrie sub forma , întrucât derivata treptei unitare este distribuţia . Având în vedere relaţia (3.60), rezultă , deci:

(3.64)

Aplicaţia 3.1:

Fie x(t) un semnal, reprezentat grafic în fig. 3.20. Se va ilustra în cele ce urmează construcţia convoluţiei semnalului x(t) cu treapta unitară, u(t), în conformitate cu relaţia:

Fig. 3.20 Semnalele u(t) şi x(t) pentru care se determină convoluţia