Calculul Integral pentru o Funcție de o Variabilă

1. Definiţia primitivei:

Fie f : I R unde I R este un interval. Funcţia f admite primitive pe I daca exista o functie

F : I R a.î.:

a)F derivabila pe I

b)F’(x)=f(x), x I

Functia F se numeşte primitiva funcţiei f

Observaţie:

Daca F1 si F2 : I R sunt primitive ale funcţiei f : I R atunci F1 si F2 difera print-o constantă

( c R a.î. F1(x)=F2(x)+c )

Def: Daca f : I R admite primitive, atunci multimea primitivelor lui f se numeşte integrala nedefinita a lui f si se notează .

2.Proprietăţi ale funcţiilor care admit primitive:

• O funcţie care admite primitive are proprietatea lui Darboux.

• O funcţie continua pe un interval I R admite permitive pe I.

• Daca f : I R şi f(I) nu este interval, atunci f nu admite primitive.

• O funcţie care nu are proprietatea lui Darboux, nu admite primitive.

3.Operaţii cu funcţii care admit primitive:

Dacă f,g : I R sunt doua funcţii care admit primitive si R, 0, atunci funcţiile f+g si f admit, de asemenea primitive şi au loc relaţiile:

• = + ;

• = ;

NR. CRT. FUNCŢIA INTEGRALA NEDEFINITĂ

1. f:  , f(x) = xn, nєN

 xn dx = + ζ

2. f: I  , I  (0, )

f(x) = xa, aє -{-1}  xa dx = + ζ

NR. CRT. FUNCŢIA INTEGRALA NEDEFINITĂ INTEGRALA NEDEFINITĂ

3. f: I  , I (0, )

f(x) = = x –1

 dx =ln |x|+ζ = ln x+ζ, x>0

ln(-x)+ζ,x<0

4. f:  , f(x) = ax, a > 0, a  1

 ax dx = + ζ

5. f: I  , I  (- , -a) sau I = (-a,a) sau

I = (a, ) ,f(x) =

 dx= + ζ

6. f:  , f(x) = , a  0

 dx= + ζ

7. f: I  , I  (-a,a),

f(x) = , a 0

 dx=arcsin + ζ

8. f:  , f(x) = , a  0

 dx =ln(x+ ) +ζ

9. f: I  , I  (- , -a) sau I = (a,)

a > 0, f(x) =

 dx =ln|x+ | + ζ

10. f:  , f(x) = sinx

 sinx dx = - cos x + ζ

11. F:  , f(x) = cosx

 cosx dx = sin x + ζ