Fizică

Fie o dreapta orientata d si un numar real nenul u. Daca fixam un punct ( (d, atunci transformarea ce asociaza fiecarui punct O (d punctul M definit de relatia se numeste omotetie de centru (si raport u pe d. Daca u > 0, omotetia este directa, iar daca u < 0, se numeste indirecta. Omotetia inversa omotetiei (H) asociaza fiecarui punct M (d punctul O definit de relatia Daca presupunem definit un sistem de coordonate : d (R cu originea (si notam coordonatele punctelor O si M cu t = (O), s =(M), atunci omotetiile (H) si (H) au reprezentarea analitica si definim sistemul de coordonate SA: d (R cu proprietatea SA (O) = 0, SA (A) = 1, atunci punctelor O si M li se asociaza coordonatele s1 = SA (O), s = SA (M) intre care exista relatia s1 = a s (*) aceasta fiind expresia analitica a omotetiei (H1) de centru O si raport a in sistemul de coordonate SA. Pe de alta parte, daca in (*) efectuam schimbarea de coordonate s = u t si notam v = a u, atunci (*) devine s1 = v t Asa cum rezulta din relatiile (**) si (***), in sistemul de coordonate SA miscarea se exprima prin doua tipuri de coordonate, unele variabile, dependente de punctul caruia i se asociaza si altele fixe, independente de aceste puncte. Este vorba despre coordonatele s = SA (M), s1 = SA (O) si respectiv t = (O). Pe de alta parte, in primul caz unitatile de masura au valori fixe, independente de punctele considerate, iar in al doilea caz acestea au valori variabile, care depind de punctele considerate. Este vorba despre unitatea de masura cu valoare unitara definita in sistemul de coordonate SA si respectiv de unitatile de masura de marime v si u care au rezultat in urma schimbarilor de coordonate.

Mai precis, daca pe multimea S a segmentelor definim o masura Sm: S (R+ ({0} cu proprietatea Sm (OO) = 0, Sm (OA) = 1, atunci in cazul unitatii de masura m = OA definita de punctul unitate A avem Sm (m) = 1, iar in cazul unitatilor de masura definite de relatiile din (**), (***) si relatiile OM = s m = t h, OO = s1 m = t h1 rezulta h = u m, h1 = v m, deci Sm (h) = u, Sm (h1) = v.

Daca unitatile de masura si coordonatele fixe le numim absolute, iar pe cele care depind de punctul considerat le numim relative, atunci putem afirma ca miscarea in sistemul de coordonate SA se exprima atit printr-un numar relativ de unitati absolute, cit si printr-un numar absolut de unitati relative. Aceasta reprezentare duala a miscarii relative a omotetiei (H1) definita de punctele O, O, M in sistemul de coordonate SA este datorata faptului ca omotetia (H) include (subordoneaza) omotetia (H1). Daca nu tinem cont de aceasta subordonare, atunci utilizam relatiile (*) pentru a exprima analitic omotetia (H1). Putem relua observatiile de mai sus, daca ne referim la omotetia inversa (H). De exemplu, daca fixam punctul B dat de egalitatea si definim sistemul de coordonate TB: d (R cu proprietatea TB (O) = 0, TB (B) = 1, atunci punctelor O si M li se asociaza ...