Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metode directe și iterative

Metode directe pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii algebrice liniare

Introducere

In lucrare se prezinta principiul metodei si se analizeaza algortimul atat din punctul de vedere al complexitatii cat si al stabilitatii numerice,evidentiindu-se limitele acestei metode.

Metoda Gauss este o metoda directa de rezolvare a sistemelor de ecuatii algebrice liniare care au matricea sistemului patrata si nesingulara.Solutia sistemului se obtine dupa un numar finit de pasi.

Chestiuni studiate

Rezolvarea unor sisteme de ecuatii cu metoda Gauss cu sau fara pivotare

Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii algebrice liniare

Rezolvarea unor sisteme de ecuatii cu metoda Gauss cu sau fara pivotare

Fie sistemul de ecuatii:

{ (-x+2y+4z=5 @3x-y+z=3@-2x-y+z=-2)┤

Rezolvare sistem de ecuatii prin metoda Gauss:

Rezolvare:

{ (-x+2y+4z=5 () ⃒*(-3/(-1)) () ⃒*(-(-2)/(-1))@3x-y+z=3@-2x-y+z=-2)┤ { (-x+2y+4z=5@5y+13z=18@-5y-7z=-12)┤

{ (-x+2y+4z=5@ 5y+13z=1(8 ) ⃒*(-(-5)/5)@-5y-7z=-12)┤ { (-x+2y+4z=5@ 5y+13z=18@6z=6)┤

Etapa de retrosubstitutie:

Necunoscutele sistemului se determina astfel:

z = (6 )/6 = 1

y = (18-13 z)/5 = (18-13)/(-5) = 1

x = (5-2y-4z)/(-1) = (5-2-4)/(-1) = 1

Solutia sistemului este (1, 1, 1)

Evaluarea complexitatii algoritmilor Gauss cu sau fara pivotare

Metoda Gauss fara pivotare:

Am introdus dimensiunea sistemului N=3

UNIVERSITATEA POLITEHNICA BUCURESTI

FACULTATEA DE INGINERIE ELECTRICĂ