Studiu elementelor de întârziere de ordinul I și al sistemului automat liniar de ordinul II

1. Studiul elementului de intarziere de ordinul I (aperiodic).

1.1. Deducerea analitica a raspunsului indicial

Elementele de întârziere de ordinul I (EÎO1) sunt descrise de ecuaţii diferenţiale de forma:

(1.1)

în care r(t) = 1(t).

Considerăm condiţia iniţială nulă:

(1.2)

Ecuaţia (1.1) se aduce la o formă prin care să se evidenţieze constanta de timp a EÎO1 şi coeficientul de transfer (de amplificare). Pentru aceasta se împarte (1.1) cu a0 şi se obţine:

(1.3)

în care: este constanta de timp a EÎO1, este coeficientul de transfer (amplificare).

Elementele descrise de ecuaţia (1.3) se mai numesc elemente aperiodice de ordinul 1. A determina răspunsul elementului, soluţie a ecuaţiei (1.3), înseamnă a găsi expresia mărimii de ieşire y(t) de la t = 0, când se aplică semnalul de intrare şi până la t = , când teoretic se încheie regimul tranzitoriu şi elementul se află în regim staţionar.

După cum s-a specificat, soluţia generală a ecuaţiei (1.3) are două componente (doi termeni):

(1.4)

Componenta tranzitorie (sau liberă) a răspunsului este soluţia ecuaţiei omogene aferentă ecuaţiei (1.3):

(1.5)

Notând ecuaţia caracteristică este şi corespunzător rădăcina acesteia este A rezultat:

(1.6)

în care C reprezintă constanta de integrare care se determină având în vedere condiţia iniţială (1.2).

În cazul analizat mărimea de intrare fiind o constantă, pentru t  0, componenta de regim staţionar (forţat) impusă de mărimea de intrare este de asemenea constantă, deci yst = ct. Introducând yst în (1.3) şi ţinând cont de faptul că derivata unei constante este zero, iar 1(t)t  0 =1, se obţine valoarea de regim staţionar a răspunsului:

(1.7)

Deci, conform cu (1.4), a rezultat că expresia răspunsului EÎO1 la o mărime de intrare treaptă este de forma:

(1.8)

Se determină constanta de integrare din condiţia iniţială:

(1.9)

şi corespunzător răspunsul EÎO1 este descris de expresia:

(1.10)

Constanta de timp T se poate determina cu ajutorul curbei de raspuns, ducand tangenta in origine la aceasta (grafic) şi din condiţia t=T, care se obţine din (1.10):

, (1.11)

unde

Deci timpul în care răspunsul sistemului, la semnal de intrare treaptă, devine egal cu 0,632k reprezintă constanta de timp T.

Teoretic, regimul tranzitoriu se încheie la infinit. Practic, însă timpul tranzitoriu este tr = 3T, când valoarea mărimii de ieşire atinge valoarea de 95% din valoarea staţionară a răspunsului. Din (1.3) se constată că eroarea staţionară este nulă dacă k=1, deci dacă a0=b0.

1.2. Scheme de modelare in simulink

1.2.1. Schema de modelare in baza ecuatiei diferentiale pentru T=7, k=1, εst=0.

(gain=1/7,gain1=1/7)

ACADEMIA NAVALA “MIRCEA CEL BATRAN”

FACULTATEA DE MARINA MILITARA