Rădăcini ale polinoamelor cu coeficienți într-un corp

Fie k un corp, K o extindere a sa si M o submultime a lui K. Atunci intersectia tuturor subcorpurilor lui K care contin pe k si submultimea M este un subcorp al lui K si o extindere a lui k care contine multimea M. Acest subcorp al lui K se noteaza cu k(M) si se spune ca este corpul obtinut prin adjunctionare la k a elementelor multimii M. Corpul k(M) este corpul de fractii al inelului k[M] generat peste k de multimea M. Fie I o multime; notam cu k[X ; I] inelul polinoamelor de I-nedeterminate cu coeficientii in corpul k si cu k(X ; I) corpul sau de fractii. Corpul k(X ; I) poate fi privit ca obtinut prin adjunctionare la k a nedeterminatelor Xi, i?I. O extindere K a unui corp k se numeste de tip finit daca exista o submultime finita M a lui K, astfel incat k(M)=K. Daca exista un element x?K astfel incat K=k(x) atunci K se numeste extindere simpla a lui k.

Propozitia 1.1. Fie k?K o extindere de corpuri. Sunt adevarate urmatoarele afirmatii:

i) k(K)=K, iar k(M)=k daca si numai daca submultimea M este din k.

ii) Daca M si N sunt doua submultimi ale lui K, atunci k(M?N) = k(M)(N) = k(N)(M).

iii) Daca {Mi}, i?I, este un sistem de submultimi ale lui K filtrant la dreapta (adica pentru orice i,j?I exista l?I astfel incat Mi?Ml si Mj?Ml) si M=?Mi

i?I

k(M) = ? k(Mi)

i? I

Demonstratie. Toate afirmatiile rezulta direct din definitia de mai sus. Pentru demonstrarea afirmatiei din iii) este suficient sa se observe ca intrucat sistemul {Mi}, i?I, este filtrant la dreapta ?k(Mi) este un subcorp al lui K.

In conditiile din propozitia precedenta se noteaza de obicei cu k(M, N) corpul k(M ? N).

Fie A un inel comutativ si B o A-algebra (nu neaparat comutativa). Atunci adunarea lui B si operatia externa definita prin ab=u(a)b, pentru a?A, b?B, unde u: A?B este morfismul canonic, determina pe B o structura de A-modul. In particular, daca k este un corp si K este un corp (nu neaparat comutativ) care este k-algebra, are sens dimensiunea lui K peste k care se noteaza [K : k] si se numeste gradul lui K peste k. Corpul K se numeste extindere finita a lui k daca [K : k] < ? si infinita daca [K : k] = ?. Revenind la cazul extinderilor comutative, observam ca o extindere finita K a unui corp k este de tip finit. Mai mult, daca x1, x2, ..., xn este un sistem de generatori de spatiu vectorial al lui K peste k, atunci K = k(x1, x2, ..., xn) =k[x1, ..., xn]. Reciproca acestei afirmatii nu este adevarata, dupa cum arata exemplul corpului k(X) al functiilor rationale de o nedeterminata cu coeficienti in k, care este o extindere simpla a lui k, insa elementele 1, X, X2, ..., Xn, ...sunt liniar independente peste k si deci

[k(X) : k] = ?.

Fie k?K o extindere de corpuri, M o parte a lui K si k[X ; M] inelul de polinoame de M-nedeterminate cu coeficienti in k. Atunci exista un morfism unic de k-algebre u: k[X ; M]?K cu proprietatea u(Xm)=m pentru orice m?M. Avem inegalitatea Im u = k[M] si u induce un morfism surjectiv u' : k[X ; M] ? k[M] pe care in numim in continuare canonic. Daca u este injectiv, adica u' este izomorfism, se spune ca elementele lui M sunt algebric independente peste k; in caz contrar se spune ca sunt algebric dependentepeste k. Un element ? din K se numeste algebric peste k daca morfismul canonic v : k[X]?k[?] nu este injectiv, adica Ker v ? (0) sau, echivalent, exista un polinom nenul f din k[X] astfel incat f(?) = 0, adica ? este o radacina a lui f. Daca nucleul lui v este egal cu (0), deci daca nu exista nici un polinom nenul care are pe ? este transcendent peste k. Asadar, ? este transcendent daca si numai daca morfismul v este injectiv, adica k[?] este k-izomorf cu inelul polinoamelor k[X] si deci k(?) ? k(X). Daca ? este element algebric peste k, atunci Ker v ? (0) si rezulta ca un k-izomorfism k[X]/Ker v ? k(?) care duce clasa lui X in ?. Deoarece k[?] este subinel nenul nenul in k[X]. Deoarece k[X] este inel principal, Ker v este generat de un polinom ireductibil. Un polinom care genereaza idealul Ker v se numeste polinom minimal al lui ?; el este, prin urmare, ireductibil si doua astfel de polinoame sunt asociate. Deci au in particular acelasi grad si exista unul singur cu coeficientul termenului de grad maxim egal cu 1, numitpolinomul minimal al lui ?. Observam ca Ker v = {f ?k[X] | f[?] = 0}. Deoarece un polinom minimal al ui ? genereaza pe Ker v, rezulta ca el este un polinom de grad minim care are pe ? ca radacina.

O extindere K a unui corp k se numeste algebrica daca orice element din K este algebric peste k.

Propozitia 1.2. Orice extindere finita este algebrica.

Demonstratie. Fie k?K o extindere finita de corpuri si x?K. Atunci elementele 1, x, ..., xn, ... nu pot fi liniar independente, caci altfel ar rezulta

[K : k] = ?. Asadar exista ai?k, i = 1, 2, ..., n, nu toate nule, astfel ca .

-Elemente algebrice si transcendente.

Extinderi algebrice.