Forțe centrale

Daca asupra unui punct material se exercita o forta a carei dependenta de pozitii este de tipul :

spunem ca particula de misca intr-un camp de forte centrale (sau camp central de forte).

reprezinta vectorul de pozitie al punctului material fata de un centru C fix.

Se pot defini astfel fortele centrale prin proprietatea ca distanta de la punctul marimea lor depinde de distanta de la punctul material la un punct fix (centrul fortelor) iar suportul ei este dreapta ce uneste centrul C cu particula.

Modulul fortei iar sensul acestuia este :

de la centrul C spre particula (forte de respingere) daca f>0;

de la particula spre centrul C (forta de atractie) daca f<0;

Fortele centrale independente de timp, sunt in general, conservative : cu ipoteze destul de generale privind integralitatea functiei f (r), din relatia de definitie (1) se poate introduce o functie U(r) (ce reprezinta de fapt energia potentiala a punctului material in campul dat) astfel ca :

Verificarea relatiilor (2) si (3) se poate face direct exprimand gradientul lui U in coordonate carteziene.

Comparand expresia obtinuta (7) cu expresia fortei (3) in camp , reprezinta :

Energia potentiala U(r) este determinata, dandu-se f(r) pana la o constanta aditiva arbitrara. Alegand acesta constanta U(r0)=0 avem

Exemple de forte centrale bine cunoscute :

Forte gravitationale newtoniene care actioneaza asupra unui punct material de masa m din partea unui corp de masa M considerat punctiform si presupus fix in punctul C

Fortele gravitationale newtoniene care se exercita asupra punctului in prezenta unei sfere fixe de raza R cu centrul C si masa M omogen distribuita in volum :

este raza vectoare fata de C. Mai general, daca densitatea sferei este ?(r) dependenta doar de distanta r, fortele exercitate asupra punctului material m sunt, de asemenea, centrale.

Fortele electrice coulombiene de forma :

care se exercita asupra sarcinii punctiforme q din partea unei sarcini punctiforme Q presupusa fixa.

Analogul electrostatic al cazului (b) poate di definit astfel :

Fortele elastice de orice natura de forma

II.2 Teoremele generale referitoare la miscarea in camp central

Teoremele generale referitoare la miscarea in camp central de forte reprezinta consecinte directe ale teoremelor generale din mecanica.

T1. Energia mecanica a particulei (E) in camp central definita prin suma intre energia cinetica Ec si energia potentiala (U) in campul dat se conserva adica este constanta in tot timpul miscarii.

E=Ec+U (II.21)

T2. Momentul cinetic al particulei fata de centrul C al fortelor se conserva.

T3. Traiectoria miscarii unui corp intr-un camp de forte centrale este plana, miscarea efectuandu-se intr-un plan fix ce trece prin (C)

T4. Viteza areolara a miscarii in camp central este constanta: raza vectoare a punctului material, dusa de la centrul fortelor, matura arii egale in intervale de timp egele.

Teorema T1. nu reprezinta altceva decat rezultatul aplicarii la cazul particular al miscarii in camp central a teoremei conservarii energiei unei particule care se misca in camp de forte conservativ.

Pentru un camp conservativ ?L=-dEc

?L=-dU

ceea ce conduce la d(Ec+U)=0 adica Ec+U=constant

Pentru demonstrarea teoremei (T2) folosim definitia momentului cinetic a punctului material de masa m si viteza , calculat in raport cu C:

Prin derivare in raport cu timpul, obtinem:

sau

Cum va rezulta

relatie ce exprima conservarea momentului cinetic al punctului material in raport cu centrul fortelor.

(T3) este de fapt consecinta directa a teoremei precedente.

Relatia (II.2.3.) ne conduce la ceea ce a insemnat ca raza vectoare , cat si viteza, sunt permanent perpendiculare pe directia fixa definita de momentul cinetic

Prin urmare orice punct al traiectoriei pe care se misca particula apartine planului perpendicular pe care trece prin centrul C.

Teorema (T4) este consecinta ecuatiei ce exprima conservarea