Mecanică I - îndrumător și aplicații

1. OPERATII CU VECTORI

1.1. Sumarea si multiplicarea vectorilor cu o marime scalara

Vectorii sunt entitati matematice, caracterizati de marime, directie,

sens si punct de aplicatie.

Sumarea a doi vectori concurenti intr-un punct O, se realizeaza dupa

regula paralelogramului (fig. 1.1). De altfel, multe din operatiile cu vectori

studiate de algebra vectoriala pot fi deduse cu ajutorul acestei reguli. Folosind

pentru vector, notatia cu simbolul barat la partea

superioara, se scrie: c

a

b

c = a + b (1.1)

Din regula paralelogramului rezulta ca

sumarea este o operatie in cadrul careia nu este

importanta ordinea de sumare, ceea ce inseamna

ca aceasta operatie este comutativa:

O

Fig. 1.1.

c = a + b = b + a (1.2)

Se observa ca se poate obtine acelasi

rezultat daca se realizeaza un triunghi al

vectorilor (fig. 1.2), in care un vector echipolent

cu a , are originea in extremitatea vectorului b .

Vectorul c , numit vector rezultant sau

rezultanta, va avea originea comuna cu originea primului vector (punctul O), si

extremitatea in extremitatea celui de-al doilea vector.

b

c=a+b

a

O

Fig. 1.2.

Constructia grafica din figura 1.2 este numita regula triunghiului, si este

echivalenta cu regula paralelogramului.

Sumarea vectorilor este o operatie asociativa. Astfel, pentru trei vectori

a , b si c , vectorul rezultant se calculeaza in doua etape: se procedeaza la

sumarea primilor doi vectori, apoi la suma obtinuta se sumeaza cel de-al treilea

vector (fig. 1.3). Acelasi rezultat se obtine si daca se sumeaza mai intai ultimii

doi vectori, apoi primul vector (fig. 1.4), ceea ce se scrie:

(a + b ) + c = a + (b + c) (1.3)

Sumarea mai multor vectori conduce la generalizarea regulii

triunghiului, stabilindu-se regula conturului poligonal, vectorul rezultant

avand originea comuna cu primul vector, iar extremitatea in extremitatea

ultimului vector.

(a+b)+c

a+b

b

c

a

b+c

b c

a

a+(b+c)

Fig. 1.3. Fig. 1.4.

Cea mai simpla operatie de multiplicare a vectorilor este multiplicarea

cu un scalar (sau cu o marime scalara).

Marimea scalara este o entitate caracterizata printr-un numar.

Daca ? este un scalar, atunci prin multiplicarea vectorului a cu scalarul ?

intelegem un vector ? a care are urmatoarele caracteristici:

- marimea este egala cu produsul dintre ? si modulul vectorului a ;

- directia aceeasi cu cea a vectorului a ;

- sensul este acelasi cu sensul vectorului a daca ? este pozitiv, sau de

sens opus daca ? este negativ;

- punctul de aplicatie coincide cu al vectorului a .

1.2. Versorii si componentele ortogonale ale unui vector

Daca vectorul

a

u = a , unde a este marimea vectorului a , este

adimensional, are marimea egala cu unitatea si are aceeasi directie cu vectorul

a , atunci u se numeste versorul directiei vectorului a .

Versorii directiilor predefinite furnizeaza mecanismul obisnuit de

exprimare a vectorilor. Astfel, orice vector se poate exprima in functie de

versorul directiei sale:

a = a u (1.4)

Fie un sistem de axe triortogonal cartezian drept Oxyz, pentru care

versorii acestor axe sunt i , j si k .

Regula paralelogramului ne permite sa descompunem un vector a in trei

componente reciproc ortogonale scrise axi , ay j si azk (fig. 1.5), astfel incat:

a = axi + ay j + azk (1.5)

Relatia (1.5) reprezinta expresia analitica a vectorului a in raport cu

sistemul de axe Oxyz.

Numim proiectiile vectorului a pe cele trei axe, marimile scalare ax, ay,

si az (fig. 1.6), care se scriu in functie de unghiurile ?, ? si ? pe care le face

vectorul a cu cele trei axe Ox, Oy si respectiv Oz:

ax = a cos? , ay = a cos? si az = a cos? (1.6)

Aceste cosinusuri sunt numite cosinusurile directoare ale vectorului a .

Intre ele exista relatia:

[1] Alexandrescu M. - Mecanica teoretica (fundamentele mecanicii si statica), vol. I, Ed. Leda, Constanta, 1996.

[2] Alexandrescu M., Szolga V. - Mecanica, probleme de statica, ICB, 1982.

[3] Balan St. - Culegere de probleme de mecanica, Ed. didactica si pedagogica, Bucuresti, 1972.

[4] Gheorghiu Gh., Th. - Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala si programare, Ed. didactica si pedagogica, Bucuresti, 1977.

[5] Hangan S., Slatineanu I. - Mecanica, Ed. didactica si pedagogica, Bucuresti, 1983.

[6] Iliescu V., Dragomirescu Cr. - Statica, Ed. didactica si pedagogica, Bucuresti, 2003.

[7] Mechtcherski I., Recueil de problemes de mecanique rationnelle, Ed. Mir, Moscova, 1975.

[8] Szolga V., Szolga A.-M. - Mecanica teoretica: note de curs si indrumator de seminar, partea I, Ed Conspress, Bucuresti, 2003.

[9] Vasilescu A. - Complemente de mecanica. Curs si aplicatii pentru ingineri, Ed. Conspress, Bucuresti, 2000.

[10] Vasilescu A. - Mecanica - curs pentru colegiu universitar, Ed. Conspress, Bucuresti, 1998.

[11] Vilcovici,V., Balan St.,Voinea R. - Mecanica teoretica, Ed. tehnica, Bucuresti, 1968.