La prima vedere ideea nu pare prea grozava, deoarece avem nevoie de inspiratie pentru gasirea intermediarilor si apoi in locul unei inegalitati avem de demonstrat cel putin alte doua inegalitati.
Da, dar este preferabil sa avem de demonstrat mai multe inegalitati pe care le putem demonstra in locul uneia pe care nu stim sa o demonstram. Punctul nevralgic al metodei este gasirea intermediarilor.
Merita atunci sa testam ipoteza Prima dintre aceste inegalitati se poate pune sub forma A doua inegalitate se reduce la (2). In inegalitatea echivalenta cu Incercand sa spargem aceasta inegalitate, cautam o parte din expresia din stanga care sa fie mai mare sau egala cu 16abc. Evident ca aceasta trebuie sa nu contina pe d, deci sa fi o bucata din Aceasta ipoteza rezista si la testul egalitatii. Pentru a=b=c=d inegalitatea (5) se verifica cu egal si atunci pentru a=b=c trebuie sa avem egalitate in inegalitatea pe care o testam, ceea ce se confirma.
Putem ajunge la aceeasi ipoteza de spargere si pe o alta cale, mai directa. Cautam o inegalitate de forma A (a3+b3+c3) +B (a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b) +6abca??16abc. Fiecare dintre aceste inegalitati se demonstreaza cu inegalitatea mediilor aplicata pentru a3, b3, c3, si respectiv a2b, a2c, b2c, b2a, c2a, c2b. Impachetarea inegalitatilor demonstrate pentru a obtine (5) nu mai este decat o problema de rutina.
Putem demonstra inegalitatea (4) si fara a demonstra inegalitatea mai tare (5). Ridicand ambii membri la puterea a sasea pentru a elimina radicalii, obtinem inegalitatea echivalenta Avem o vaga asemanare cu CBS asa ca incercam sa profitam de ea. Conform inegalitatii CBS avem Pentru a ne reusi o intercalare avem nevoie de inegalitatea care este adevarata, ea devenind Avem egalitate in (4) cand (a, b, c, d) si (bc, cd, da, ab) sunt proportionale si in acelasi timp a2-b2+c2-d2=0. Din se obtine a2=cd, b2=da, c2=ab, d2=bc. Presupunand a=max (a, b, c, d), cum a2=cd, obtinem a=c=d si apoi a=b=c=d care, se constata prin verificare, este conditia de egalitate din (4). Pentru (6) 27 (a2+bc) (b2+ca) (c2+ab) a??8 (ab+bc+ca) 3, a, b, c>0, cu inegalitatea mediilor aplicata numerelor a2+bc, b2+ca, c2+ab obtinem Dar ab+bc+caa??a2+b2+c2 si atunci (a2+b2+c2+ab+bc+ca) 3a??8 (a2+b2+c2) 3, ceea ce inseamna ca intercalarea ne-a reusit.
Egalul se atinge cand a=b=c. Incercam aceeasi idee de intercalare pentru Conform inegalitatilor mediilor avem 1. 2. Intercalari de mijloc Inegalitatea poate fi mult simplificata cu substitutiile a=1/x, b=1/y. Inegalitatea devine Cu inegalitatea mediilor obtinem Pentru a demonstra (8) e suficient sa avem Simetria exista in ne permite ipoteza ca egalitatea se obtine pentru x=y. Ar trebui sa avem atunci care conserva cazul de egalitate observat. A doua inegalitate a fost obtinuta cu inegalitatea mediilor iar prima devine ceea ce inseamna ca intercalarea a reusit.
O demonstratie prin intercalare pentru arata astfel: Era normal sa folosim primele doua inegalitati pentru ca in definitiv inegalitatea trebuie sa se verifice si in cazul ...
Pentru a descărca acest document,
trebuie să te autentifici in contul tău.
