Corpurile joaca in rol important in rezolvarea problemelor legate de multimi inzestrate cu doua operatii binare. Exemple concrete de multimi inzestrate cu doua operatii se intalnesc de catre cei care vor sa studieze matematica inca din primele clase de scoala. Ei discuta despre suma si produsul a doua numere naturale desi definitiile mai concrete ale operatiilor de adunare si inmultire in multimea numerelor naturale nu le pot intelege inca. In liceu sunt invatati sa defineasca corect operatiile de adunare si inmultire in multimea numerelor intregi, rationale, reale, complexe, in multimea polinoamelor cu o nedeterminata, in multimea matricilor patratice etc.
Asemenea exemple concrete de multimi inzestrate cu doua operatii binare, pot fi studiate dintr-un punct de vedere mai larg, prin introducerea notiunilor de inel si corp.
In lucrarea de fata am incercat sa fac o trecere in revista a celor mai cunoscute notiuni despre inele si corpuri, realizand o prezentare teoretica a inelelor si corpurilor, cat si demonstratii ale teoremelor cu unele exemple practice.
In primul capitol al lucrarii sunt prezentate principalele notiuni, definitii, teoreme si exemple de inele, iar capitolul doi face acelasi lucru legat de corpuri algebrice. 1. 1. 1. DefinitieA : Fie A o multime inzestrata cu doua operatii binare notate prin simbolurile + si (si numite operatie de adunare respectiv de inmultire.
Tripletul (A, +, () se numeste inel daca satisface conditiile (axiomele) : (A, +) este grup abelian (comutativ) ; (A, () este semigrup; a ( (b + c) = ab + ac (a + b) (c = ac + bc, adica operatia de inmultire este distributiva, atat la stanga cat si la dreapta, fata de operatia de adunare.
Explicitand proprietatile 1, 2 si 3, (A, +, () este inel daca: (0 (A a.
i. 0 + x = x + 0 = x, ( () x (A ( () x (A, (-x (A a.
i. x + (- x) = (- x) + x = 0 Daca A nu contine alte elemente, diferite de elementul zero, atunci inelul (A, +, () se numeste inel nul.
Mai mult, se observa ca pentru orice multime formata dintr-un singur element exista o singura structura de inel, inelul nul.
Exemple de inele: (Z, +, (), (Q, +, (), (R, +, (), (C, +, () sunt inele comutative si unitare.
Mentionam ca multimea numerelor naturale, impreuna cu operatiile de adunare si inmultire, definite in modul cunoscut in aceasta multime, nu formeaza inel, intrucat (N, +) nu este grup.
(Z[i], +, () numit inelul intregilor lui Gauss, unde Z[i] = {z/z = a + bi; a, b (Z}, iar operatiile + si (sunt cele uzuale cu numere complexe.
Se verifica usor ca (Z[i], +, () este inel comutativ unitar.
(Zn, +, () este inel comutativ unitar, inelul claselor de resturi modulo n.
Exemple concrete de inele: 1. Presupunand cunoscuta constructia numerelor naturale N, precum si proprietatile operatiilor de adunare si inmultire cu numere naturale, putem construi inelul numerelor intregi. Pentru aceasta sa consideram produsul cartezian si definim in aceasta multime o relatie binara a?^ astfel Definind in Z operatiile binare + si (prin ...
M. BECHEANU, C. NITA, M. STEFANESCU, A. DINCA, I. PURDEA, I. D. ION, N. RADU, C. VRACIU - "ALGEBRA PENTRU PERFECTIONAREA PROFESORILOR" - EDITURA DIDACTICA SI PEDAGOGICA, BUCURESTI, 1983
GHEORGHE FARCAS - "ALGEBRA" - EDITURA UNIVERSITATII "PETRU MAIOR", TARGU MURES, 2001
ION D. ION, R. NICOLAE - "ALGEBRA" - EDITIA A III - A, EDITURA DIDACTICA SI PEDAGOGICA, BUCURESTI, 1981
C. NASTASESCU, C. NITA, C. VRACIU - "BAZELE ALGEBREI" - VOL. I, EDITURA ACADEMIEI R. S. R. , BUCURESTI, 1986
Pentru a descărca acest document,
trebuie să te autentifici in contul tău.
